اختيار لجان 2 ولد و 2 بنت: حلول الاختيارات الرياضية (مسألة رياضيات)

توجد 5 أولاد و 3 بنات، ونريد اختيار لجنة تتألف من 4 أفراد، حيث يجب أن تتكون اللجنة من بالضبط 2 ولد و 2 بنت. كم هو عدد اللجان الممكنة؟

الحل:

لنبدأ بحساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار الأولاد الاثنين من بين الخمسة. إذاً، نستخدم صيغة الاختيار:

$C(\text{عدد الأولاد}, \text{عدد الأولاد المطلوبين}) = C(5, 2)$

حيث:
$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ثم نقوم بحساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار البنات الاثنتين من بين الثلاث. إذاً:
$C(\text{عدد البنات}, \text{عدد البنات المطلوبات}) = C(3, 2)$

الآن نقوم بضرب عدد الطرق لاختيار الأولاد بعدد الطرق لاختيار البنات للحصول على إجمالي عدد اللجان الممكنة:

$C(\text{اللجان الممكنة}) = C(5, 2) \times C(3, 2)$

حسنًا، الآن دعونا نحسب القيم:

$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3}{1} = 3$

إذاً:
$C(\text{اللجان الممكنة}) = 10 \times 3 = 30$

إذاً، يمكن اختيار 30 لجنة مكونة من 2 ولد و 2 بنت من بين الأولاد والبنات المتاحين.

لحل هذه المسألة، نستخدم مبدأ الاختيار، حيث نستخدم القوانين التالية:

1. صيغة الاختيار (Combination):
   $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
   حيث $C(n, r)$ هو عدد الطرق التي يمكن اختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

2. مبدأ الضرب:
   إذا كان لدينا $m$ خيار لفعل شيء و $n$ خيار لفعل شيء آخر، فإن إجمالي عدد الطرق لفعل الشيئين معًا هو $m \times n$.

الآن، دعونا نقوم بحساب عدد اللجان الممكنة:

1. اختيار الأولاد:
   $C(\text{عدد الأولاد}, \text{عدد الأولاد المطلوبين}) = C(5, 2)$
   حيث $n = 5$ و $r = 2$
   $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

2. اختيار البنات:
   $C(\text{عدد البنات}, \text{عدد البنات المطلوبات}) = C(3, 2)$
   حيث $n = 3$ و $r = 2$
   $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3}{1} = 3$

3. استخدام مبدأ الضرب:
   $C(\text{اللجان الممكنة}) = C(5, 2) \times C(3, 2)$
   $C(\text{اللجان الممكنة}) = 10 \times 3 = 30$

إذاً، هناك 30 طريقة مختلفة لاختيار لجنة تتألف من 2 ولد و 2 بنت من بين الأولاد والبنات المتاحين.