اختيار اللجان مع جين وتوماس

إذا كان جين وتوماس من بين 8 أشخاص يتم اختيار لجنة مؤلفة من 4 أشخاص على الأقل، فكم هو عدد اللجان الممكنة التي يمكن اختيارها؟

لنحسب هذا العدد باستخدام مبدأ الجمع والطرح في مسألة تحتوي على مجموعتين، حيث إننا نريد اختيار لجنة مكونة من 4 أشخاص وعلى الأقل واحد منهم يجب أن يكون إما جين أو توماس.

يمكن أولاً اختيار جين وثم توماس، ومن ثم اختيار الأفراد الآخرين الثلاثة من بين الأشخاص المتبقين. العدد الإجمالي لهذا الحالة يكون:

$1 \times 1 \times \binom{6}{3}$

حيث أننا اخترنا جين وتوماس، ومن ثم اخترنا 3 أشخاص إضافيين من بين 6 الآخرين.

الآن، يمكن اختيار توماس ثم جين مع اختيار 3 أشخاص آخرين، والعدد الإجمالي لهذا الحالة يكون مماثلًا للحالة الأولى.

$1 \times 1 \times \binom{6}{3}$

وأخيرًا، يمكن اختيار جين وتوماس معًا مع اختيار 2 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين.

$1 \times 1 \times \binom{6}{2}$

لحساب الإجمالي، يمكننا جمع هذه الحالات:

$2 \times \binom{6}{3} + \binom{6}{2}$

الآن يمكننا حساب هذا العدد للحصول على الإجابة النهائية.

باستخدام مبدأ الجمع والطرح في حل مسألة اختيار لجنة من 4 أشخاص على الأقل من بين 8 أشخاص، مع الشرط أن يكون جين أو توماس ضمن اللجنة، يمكن تفصيل الحل على النحو التالي:

1. اختيار جين وتوماس معًا مع 2 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 2 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{2}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{2}$ طريقة.

2. اختيار جين وتوماس معًا مع 3 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 3 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{3}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{3}$ طريقة.

3. اختيار جين ثم توماس مع 3 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 3 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{3}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{3}$ طريقة.

4. اختيار جين ثم توماس مع 2 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 2 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{2}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{2}$ طريقة.

5. اختيار توماس ثم جين مع 3 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 3 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{3}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{3}$ طريقة.

6. اختيار توماس ثم جين مع 2 أشخاص آخرين:

   • الخطوة الأولى: اختيار توماس (1 طريقة).
   • الخطوة الثانية: اختيار جين (1 طريقة).
   • الخطوة الثالثة: اختيار 2 أشخاص آخرين من بين 6 الآخرين ($\binom{6}{2}$ طريقة).

   إذاً، لهذه الحالة، هناك $1 \times 1 \times \binom{6}{2}$ طريقة.

7. الإجمالي:
   يمكن جمع كل الحالات المذكورة أعلاه للحصول على الإجمالي:
   $1 \times 1 \times \binom{6}{2} + 1 \times 1 \times \binom{6}{3} + 1 \times 1 \times \binom{6}{3} + 1 \times 1 \times \binom{6}{2}$

   وبتبسيط العبارة، يمكننا كتابتها بشكل أكثر تنظيمًا:
   $2 \times \binom{6}{3} + \binom{6}{2}$

القوانين المستخ