اختيار الأسئلة في الامتحانات: مبدأ الجمع والضرب (مسألة رياضيات)

يحتوي ورق الامتحان على جزئين، A و B، كل منهما يحتوي على 8 أسئلة. إذا كان على الطالب اختيار 8 أسئلة من الجزء A و 4 أسئلة من الجزء B، فكم هو عدد الطرق التي يمكنه بها اختيار الأسئلة؟

للحساب، يمكننا استخدام مبدأ الجمع والضرب. لاختيار 8 أسئلة من الجزء A، لدينا 8 خيارات لاختيار الأول، ومن ثم 7 خيارات للاختيار الثاني، وهكذا. لذا، عدد الطرق لاختيار 8 أسئلة من الجزء A هو 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

بنفس الطريقة، لاختيار 4 أسئلة من الجزء B، لدينا 8 خيارات للاختيار الأول، ومن ثم 7 خيارات للاختيار الثاني، وهكذا. لذا، عدد الطرق لاختيار 4 أسئلة من الجزء B هو 8 × 7 × 6 × 5.

لحساب الإجمال، نستخدم مبدأ الضرب لضرب عددي الطرقين معًا، لذا:

عدد الطرق = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (8 × 7 × 6 × 5)

يمكننا حساب هذا الرقم للوصول إلى الإجابة النهائية.

بالطبع، دعونا نفصل تفاصيل الحل لهذه المسألة باستخدام قوانين الاحتمالات ومبدأ الجمع والضرب.

قوانين الاحتمالات:

1. مبدأ الجمع:
   إذا كان يمكن إجراء فعل بطرق مختلفة، فإن عدد الطرق الإجمالي هو مجموع عدد الطرق لكل فعل.

2. مبدأ الضرب:
   إذا كان لدينا n طريقة للقيام بشيء و m طريقة للقيام بشيء آخر، فإن إجمالي عدد الطرق للقيام بكلتا الأشياء هو n × m.

حل المسألة:

لنحسب عدد الطرق لاختيار 8 أسئلة من الجزء A و 4 أسئلة من الجزء B:

1. اختيار 8 أسئلة من الجزء A:
   لدينا 8 أسئلة في الجزء A، وبما أننا نريد اختيار 8 من بينها، نستخدم مبدأ الضرب:
   $8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1$

2. اختيار 4 أسئلة من الجزء B:
   لدينا 8 أسئلة في الجزء B، ونريد اختيار 4 منها:
   $8 × 7 × 6 × 5$

3. الجمع للحصول على الإجمال:
   الآن نستخدم مبدأ الجمع لجمع عددي الطرقين:
   $(8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (8 × 7 × 6 × 5)$

تحسب القيم بشكل منفصل وتضعها في المعادلة.

أخيرًا، يمكنك حساب هذه القيم للوصول إلى الإجابة النهائية.