اختيار 4 كتب من 6: حلول وتطبيقات (مسألة رياضيات)

عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 كتب من مجموعة تحتوي على 6 كتب، مع مراعاة عدم اعتبار ترتيب الاختيار ذا أهمية هو مسألة تتعلق بتطبيق مفهوم الجمع المركب. في هذا السياق، نستخدم الصيغة التالية لحساب عدد الطرق:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $C(n, k)$ هو عدد الطرق لاختيار $k$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.
• $n!$ تعني مضروب جميع الأعداد من 1 إلى $n$، ويسمى هذا المضروب “الفاكتوريال”.

في هذه الحالة، عندما نريد اختيار 4 كتب من بين 6 كتب، يكون عدد الطرق هو:

$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

$= \frac{6!}{4! \times 2!}$

$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$

$= 15$

لذا، هناك 15 طريقة مختلفة لاختيار 4 كتب من بين 6 كتب على الرف، مع عدم مراعاة ترتيب الاختيار.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الجمع المركب وصيغة الاحتمالات لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 كتب من بين 6. في هذا السياق، نستخدم قاعدة الجمع المركب، والتي تنص على أن عدد الطرق لحدوث حدث واحد أو آخر يحسب بجمع الطرق لكل حدث.

صيغة الاحتمالات (الجمع المركب) هي:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $C(n, k)$ هو عدد الطرق لاختيار $k$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.
• $n!$ هو الفاكتوريال الذي يمثل مضروب جميع الأعداد من 1 إلى $n$.

في حالة اختيار 4 كتب من بين 6، يكون الحساب كالتالي:

$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

$= \frac{6!}{4! \times 2!}$

$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

$= \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$

$= 15$

لذا، هناك 15 طريقة مختلفة لاختيار 4 كتب من بين 6 كتب على الرف، وذلك بمراعاة عدم اعتبار ترتيب الاختيار.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الجمع المركب: تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة عندما يكون لدينا عدة خيارات لحدوث حدث واحد أو آخر. يتم حساب ذلك بجمع الطرق لكل حدث.
2. صيغة الاحتمالات (الجمع المركب): تستخدم لحساب عدد الطرق لاختيار عناصر معينة من مجموعة أكبر.