احتمالية قسمة الأعداد الأولية على 3 (مسألة رياضيات)

عند اختيار عدد n عشوائيًا من مجموعة الأعداد ذات الرقمين حيث يكون كل من أرقامها أعدادًا أولية، فما هي احتمالية أن يكون n قابلًا للقسمة على 3؟

لحل هذه المسألة، لنقم بتحديد الأعداد ذات الرقمين التي تحتوي على أرقام أولية. الأعداد ذات الرقمين من 10 إلى 99 هي: 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97.

الآن، لنحدد الأعداد التي يمكن أن تكون قابلة للقسمة على 3. إذاً، نحتاج إلى النظر في مجموع الأرقام في كل عدد والتحقق مما إذا كان هذا المجموع قابلًا للقسمة على 3. الأعداد التي تلبي هذا الشرط هي: 11، 17، 23، 29، 41، 47، 59، 67، 71، 89، 97.

لدينا الآن 11 عددًا ممكنًا. ومن أصل 90 عددًا (الفارق بين 10 و 99)، يكون الاحتمال هو عدد الحالات الملائمة على عدد الحالات الإجمالي. إذاً، الاحتمال هو 11/90.

لتبسيط الكسر، يمكننا قسمة كل من العددين على 11، مما يعطينا النسبة 1/8.

إذاً، الاحتمال أن يكون العدد n الذي اختير عشوائيًا قابلًا للقسمة على 3 هو 1/8.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الأعداد ذات الرقمين التي تحتوي على أرقام أولية ونحسب الاحتمالية التي يكون فيها العدد قابلًا للقسمة على 3. نستخدم في هذا الحل مفهومين رئيسيين: قوانين الأعداد الأولية وقوانين القسمة على 3.

أولاً، نستعرض الأعداد ذات الرقمين من 10 إلى 99 ونحدد الأعداد التي تحتوي على أرقام أولية:
$11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.$

الآن، نقوم بحساب الأعداد التي تكون قابلة للقسمة على 3. لتحقيق ذلك، نجمع الأرقام في كل عدد ونراجع إذا كان المجموع قابلًا للقسمة على 3. الأعداد التي تلبي هذا الشرط هي:
$11, 17, 23, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 89, 97.$

الآن، لحساب الاحتمال، نقوم بتقسيم عدد الحالات الملائمة على عدد الحالات الإجمالي. لدينا 11 حالة ملائمة و 90 حالة إجمالية (فارق الأعداد بين 10 و 99). إذاً، الاحتمال يكون:
$\text{الاحتمال} = \frac{11}{90}.$

لتبسيط الكسر، يمكننا قسمة كل من العددين على 11، مما يعطينا النسبة:
$\text{الاحتمال} = \frac{1}{8}.$

القوانين المستخدمة:

1. قوانين الأعداد الأولية: تحديد الأعداد التي تحتوي على أرقام أولية.
2. قوانين القسمة على 3: فحص ما إذا كان مجموع أرقام العدد قابلاً للقسمة على 3.

تم استخدام هذه القوانين لتحليل الحالات وحساب الاحتمالية بطريقة منطقية.