احتمالية بقاء خمسة أشخاص في مباراة كرة السلة (مسألة رياضيات)

إذا قرر ستة أشخاص حضور مباراة كرة سلة، ولكن ثلاثة منهم على يقين بنسبة 2/5 فقط أنهم سيبقون لفترة كاملة (والثلاثة الآخرون متأكدون من أنهم سيبقون طوال الوقت)، فما هي احتمالية أن يبقى على الأقل خمسة أشخاص طوال الوقت؟

لحل هذه المسألة، نستخدم الاحتمالات ونقوم بتحليل السيناريوهات الممكنة.

لدينا ثلاث حالات ممكنة:

1. جميع الأشخاص الستة يبقون للوقت كاملاً.
2. ثلاثة أشخاص فقط يبقون للوقت كاملاً، وهم الذين كانوا على يقين بالبقاء.
3. خمسة أشخاص على الأقل يبقون للوقت كاملاً، مما يعني أن الثلاثة الذين كانوا غير متأكدين قد يبقون جميعهم أو يرحلون جميعهم.

لنقم بحساب احتمالات كل حالة:

1. احتمال أن يبقوا جميعًا: هو احتمال كل شخص يبقى للوقت كاملاً، أي (3/5) ^ 6.
2. احتمال أن يبقى فقط ثلاثة أشخاص: هو احتمال الثلاثة الذين كانوا على يقين بالبقاء يبقون (3/5) ^ 3، مضروبًا في احتمال الثلاثة الآخرين الذين كانوا غير متأكدين من البقاء ويقررون الرحيل بنسبة (2/5) ^ 3.
3. احتمال أن يبقى خمسة أشخاص على الأقل: هذا هو الاحتمال الإجمالي للحالات التي تحقق هذا الشرط.

لحساب الحالة الثالثة، نحسب الإحتمال المعاكس لعدم حدوث هذا الحدث، ومن ثم نطرحه من 1. لأن الإحتمال الإجمالي دائمًا يساوي 1.

إذاً، احتمال حدوث الحالة الثالثة يساوي 1 – (احتمال الحالتين الأولى).

بعد الحسابات، يتبين لنا أن الإجابة هي احتمالية أن يبقى على الأقل خمسة أشخاص طوال الوقت تساوي:

$1 – \left((3/5)^6 + \binom{3}{2} \times (3/5)^3 \times (2/5)^3\right)$

$= 1 – \left( (243/15625) + (27/125) \times (8/125) \right)$

$= 1 – \left(0.015552 + 0.043776\right)$

$= 1 – 0.059328$

$= 0.940672$

إذاً، الاحتمالية أن يبقى على الأقل خمسة أشخاص طوال الوقت هي 0.940672، أو ما يُقارب 94.07%.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الاحتمالات وقوانين حسابية الاحتمالات. القوانين الرئيسية المستخدمة هي:

1. قانون الجمع للاحتمالات: يقول هذا القانون إذا كانت هناك عدة طرق ممكنة لحدوث حدث، فإن احتمال حدوث أي من هذه الطرق يُضاف إلى احتمال حدوث أي طريقة أخرى.

2. قانون الضرب للاحتمالات: يُستخدم هذا القانون لحساب احتمال حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة. يُحسب احتمال حدوث الأحداث بضرب احتمال كل حدث على الآخر.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة هي كالتالي:

1. حساب احتمالية أن يبقى كل شخص من الأشخاص الستة طوال الوقت. لأن ثلاثة منهم متأكدون بنسبة 2/5 فقط، يكون الاحتمال لكل شخص 3/5.

2. حساب احتمالية أن يبقى فقط ثلاثة أشخاص من الستة طوال الوقت. هذا يتطلب أن يكون الثلاثة الذين كانوا متأكدين مما يفعلون على يقين بالبقاء، وثلاثة آخرين غير متأكدين يمكن أن يبقوا أو يرحلوا. يُحسب ذلك باستخدام قانون الضرب للاحتمالات.

3. حساب احتمالية أن يبقى خمسة أشخاص على الأقل طوال الوقت. هذا يمثل الحالات التي يكون فيها على الأقل خمسة أشخاص متأكدين من البقاء، بما في ذلك الحالة التي تبقى جميع الأشخاص.

4. طرح النتائج المحسوبة من 1 و 2 من الواحد للحصول على الاحتمالية النهائية.

تم حل المسألة باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة أعلاه للوصول إلى الإجابة النهائية.