احتمالية الصدق لشخصين A و B

إذا كان الشخص A يقول الحقيقة بنسبة 60٪ والشخص B يقول الحقيقة بنسبة 50٪، فما هي احتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة على الأقل؟

لنقم بترجمة المسألة الرياضية إلى لغة رياضية:
لنكن P(A) هو احتمال أن يقول الشخص A الحقيقة، و P(B) هو احتمال أن يقول الشخص B الحقيقة.

من المعطيات:
P(A) = 0.6 (60٪)
P(B) = 0.5 (50٪)

نريد حساب احتمال أن يقول أحدهما الحقيقة على الأقل، وهو مكمل احتمال أن يكون الاثنان يكذبان:
$P(\text{A or B}) = 1 – P(\text{not A and not B})$

ونعلم أن:
$P(\text{not A}) = 1 – P(A)$
$P(\text{not B}) = 1 – P(B)$

إذاً:
$P(\text{not A and not B}) = P(\text{not A}) \times P(\text{not B})$
$= (1 – 0.6) \times (1 – 0.5)$
$= 0.4 \times 0.5$
$= 0.2$

الآن، يمكننا حساب $P(\text{A or B})$:
$P(\text{A or B}) = 1 – P(\text{not A and not B})$
$= 1 – 0.2$
$= 0.8$

إذا كانت الإجابة 0.8، أو بنسبة 80٪، وهي احتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة على الأقل.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح أكثر وذكر القوانين التي تم استخدامها في حل هذه المسألة.

أولاً، لنعيد صياغة المسألة بشكل أكثر تفصيلاً:

إذا كانت الشخص A يقول الحقيقة بنسبة 60٪ (أي $P(A) = 0.6$) والشخص B يقول الحقيقة بنسبة 50٪ (أي $P(B) = 0.5$)، فما هي احتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة على الأقل؟

نستخدم هنا مفهوم الاحتمالات والمكملات. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون المكملات:
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حيث $A \cap B$ هو الحدث الذي يقول فيه الاثنان الحقيقة.

2. تعريف الاحتمالات المكملة:
   $P(\text{not A}) = 1 – P(A)$
   $P(\text{not B}) = 1 – P(B)$

ثم نحسب الاحتمالية النهائية باستخدام هذه القوانين.

لنقوم بحسابها:

أولاً، حساب $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$= 0.6 \times 0.5$
$= 0.3$

ثم، استخدام قانون المكملات:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
$= 0.6 + 0.5 – 0.3$
$= 0.8$

هنا تأتي الإجابة النهائية: هناك احتمال بنسبة 80٪ أن يقول أحدهما الحقيقة على الأقل.