احتمالية الحصول على رأسين في رمي العملة ست مرات (مسألة رياضيات)

عند رمي عملة نقدية متساوية الفرصة ستة مرات وتسجيل التسلسل الناتج من الوجوه والأذيال، فما هي احتمالية الحصول على رأسين بالتحديد؟ لنحسب الإجابة.

أولاً، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن أن نحصل فيها على نتيجة معينة، وذلك باستخدام مبدأ الاحتمالات.

العدد الإجمالي للطرق التي يمكن أن تظهر فيها رأسين (H) في ست محاولات يمكن حسابه عن طريق الجمع المتكرر، وهو $C(6,2)$، حيث $C(n,k)$ هو علامة الاختيار من $n$ عناصر بترتيب $k$ عناصر، ويُحسب بالصيغة التالية:

$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ تعني عامل القسمة التسلسلي لـ $n$، أي ضرب كل الأعداد من 1 إلى $n$، ويُعتبر $0!$ مساويًا لواحد.

لذا:

$C(6,2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15$

الآن، لنحسب الاحتمال. إجمالا، هناك $2^6$ نتيجة ممكنة لرمي العملة ست مرات، حيث يوجد اثنان من الخيارات (رأس أو عملة) في كل مرة.

لذا، الاحتمالية الكلية للحصول على نتيجة معينة (مثل الحصول على رأسين) هي عدد الطرق التي يمكن أن تحدث فيها هذه النتيجة مقسومة على إجمالي عدد النتائج الممكنة.

إذاً،

$P(\text{2 heads}) = \frac{\text{Number of ways to get 2 heads}}{\text{Total possible outcomes}} = \frac{15}{2^6} = \frac{15}{64}$

إذاً، احتمالية الحصول على رأسين بالتحديد هي $\frac{15}{64}$

لحل المسألة، استخدمنا مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية المهمة:

1. قاعدة الاحتمالات:
   هذه القاعدة تنص على أن الاحتمالات تقاس بالنسبة بين الحالات المحتملة والحالات الكلية. إذا كان لدينا عدد معين من النتائج المحتملة، يمكننا استخدام هذه القاعدة لحساب الاحتمالات.

2. مبدأ الجمع المتكرر:
   يُستخدم في حساب عدد الطرق الممكنة للحصول على نتائج محددة في ترتيب معين. في هذه المسألة، استخدمنا مبدأ الجمع المتكرر لحساب عدد الطرق الممكنة للحصول على مجموعة معينة من النتائج (مثل الحصول على رأسين) من بين النتائج الممكنة.

3. قوانين العدد المركب:
   في حل المسألة، استخدمنا قانون العدد المركب لحساب عدد الطرق المختلفة للحصول على النتائج المطلوبة. على سبيل المثال، استخدمنا $C(n,k)$ لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

4. مفهوم الاحتمالية الشرطية:
   هذا المفهوم يعني حساب الاحتمالية لحدوث حدث معين في ظل حدث آخر قد وقع بالفعل. في حل المسألة، لم نحتاج إلى استخدام مفهوم الاحتمالية الشرطية بسبب بساطة الحالة وعدم وجود ظروف معقدة.

استخدمنا هذه القوانين والمفاهيم لحل المسألة بدقة ودون تعقيد، حيث قمنا بحساب عدد الطرق الممكنة للحصول على نتيجة معينة ومن ثم حساب الاحتمالية بناءً على النتائج المحتملة.