احتمالية الأعداد مضاعفة لـ 2 و 5 (مسألة رياضيات)

عدد البطاقات الموجودة هو 25 بطاقة. إذا اختارت سارة واحدة منها عشوائيًا، فما هي الاحتمالية أن يكون الرقم على البطاقة مضاعفًا للعددين 2 أو 5؟

لحساب الاحتمالية، أولاً يجب عدّ كل الأعداد من 1 إلى X التي هي مضاعفة لـ 2 أو 5. نبدأ بمعرفة كم عدد مضاعف للعدد 2 وكم عدد مضاعف للعدد 5، ثم نحسب الأعداد التي تكون مشتركة بينهما ونحذف أعداد تكرارها.

لحساب عدد الأعداد المضاعفة للعدد 2، نقسم عدد X على 2. ولحساب عدد الأعداد المضاعفة للعدد 5، نقسم عدد X على 5. ولكن يجب أن نلاحظ أن هناك أعداد تكون مضاعفة لكليهما (2 و 5)، لذلك يجب أن نحسب هذه الأعداد أيضًا.

عدد الأعداد المضاعفة للعدد 2 = X / 2
عدد الأعداد المضاعفة للعدد 5 = X / 5
عدد الأعداد المضاعفة لكليهما = X / (2 * 5) = X / 10

ثم يتم حساب مجموع عدد الأعداد المضاعفة لكل من العددين 2 و 5 بطرح الأعداد المشتركة مرة واحدة (التي تكون مضاعفة لـ 10).

إذاً، عدد الأعداد المضاعفة للعددين 2 أو 5 = (X / 2) + (X / 5) – (X / 10)

الآن، بمعرفة أن الاحتمالية هي 3/5، نضع المعادلة التالية:

(عدد الأعداد المضاعفة للعددين 2 أو 5) / العدد الإجمالي للبطاقات = 3/5

نقوم بوضع قيمة العدد الإجمالي للبطاقات التي هي 25:

((X / 2) + (X / 5) – (X / 10)) / 25 = 3/5

نقوم بضرب كل جانب في 25 لتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

(X / 2) + (X / 5) – (X / 10) = (3/5) * 25

نقوم بتبسيط المعادلة وحساب المجهول X:

5X + 2X – X = 30

6X = 30

X = 30 / 6

X = 5

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 5.

في هذه المسألة، نستخدم مبدأ الاحتمالات لحساب الاحتمالية التي تخص اختيار سارة لبطاقة تحتوي على رقم يكون مضاعفًا للعددين 2 أو 5.

نبدأ بتحليل المسألة باستخدام القوانين التالية:

1. قانون الاحتمالات الكلي:
   هذا القانون يقول إن مجموع جميع الاحتمالات لحدوث أحد الأحداث في الفضاء العيني يساوي واحد. أي أن مجموع الاحتمالات لجميع النتائج الممكنة يساوي واحد.

2. قانون الجمع للاحتمالات:
   إذا كانت A و B حوادث متعددة الطرق، فإن احتمال حدوث A أو B يساوي احتمال حدوث A زائد احتمال حدوث B ناقص احتمال حدوث كليهما.

بناء على هذه القوانين، نقوم بتطبيق الخطوات التالية:

1. حساب عدد الأعداد المضاعفة للعددين 2 و 5:

   • عدد الأعداد المضاعفة للعدد 2 = X / 2
   • عدد الأعداد المضاعفة للعدد 5 = X / 5
   • لكن يجب استبعاد الأعداد المشتركة بينهما مرة واحدة لتجنب تكرار العدد 10.
   • عدد الأعداد المضاعفة لكل من العددين 2 و 5 = X / (2 * 5) = X / 10

2. حساب الاحتمالية:
   احتمال أن يكون الرقم على البطاقة مضاعفًا للعددين 2 أو 5 يتم عن طريق جمع الأعداد المضاعفة لكل منهما وطرح الأعداد المشتركة مرة واحدة:
   (X / 2) + (X / 5) – (X / 10)

3. وضع المعادلة:
   نضع المعادلة بناءً على القانون الكلي للاحتمالات:
   (عدد الأعداد المضاعفة للعددين 2 أو 5) / العدد الإجمالي للبطاقات = الاحتمالية

4. حل المعادلة:
   نستخدم القانون الجمع للاحتمالات لحل المعادلة وتحديد قيمة المجهول X.

5. التحقق من الإجابة:
   نتحقق من القيمة المعطاة للإجابة ونتأكد من أنها متناسبة مع النتائج السابقة والقوانين المستخدمة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم عميق للعلاقات بين الأحداث والاحتمالات في الرياضيات.