احتمالية اختيار نقطة داخل دائرة

نعتبر دائرة في السطح البياني، ونفترض أن مركزها يتواجد في الأصل (النقطة (0, 0)). إذا قمنا باختيار نقطة عشوائية داخل هذه الدائرة، حيث يُمثل الإحداثيات (x, y) موقع النقطة، نرغب في حساب الاحتمالية أن تكون قيمة y أكبر من قيمة x أو أن تكون قيمة x أكبر من صفر.

لنحسب هذه الاحتمالية، نحتاج إلى تحديد المنطقة التي تحقق هذا الشرط داخل الدائرة. عندما يكون y > x، فإن النقطة تقع في النصف العلوي من الدائرة، وعندما يكون x > 0، فإن النقطة تقع في النصف الأيمن من الدائرة.

للتوضيح، يمكننا تقسيم الدائرة إلى أربع أقسام رئيسية باستخدام خطين يمثلان المحورين (x و y). الربع الأول يحتوي على النقاط حيث x و y إيجابيان، والربع الثاني يحتوي على النقاط حيث x سالب و y إيجابي، وهكذا. إذاً، نحن بحاجة إلى حساب المساحة الإجمالية للمنطقة التي تحقق شرط y > x أو x > 0.

للقيام بذلك، يمكننا حساب المساحات المناطق المتناظرة في الربعين الثالث والرابع (حيث يكون x أكبر من صفر) وجمعها مع المساحات الموجودة في الربعين الأول والثاني (حيث يكونت y أكبر من x). يمكن استخدام التكامل لحساب المساحات بدقة، ولكن يمكننا أيضًا الاعتماد على الرسم البياني لتوضيح الفكرة.

بإيجاز، نقوم بحساب نسبة المساحة الإجمالية للمنطقة التي تحقق الشرط (y > x أو x > 0) إلى إجمالي مساحة الدائرة. تكون النسبة هي الاحتمالية المطلوبة.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر، سنستخدم القوانين الهندسية والرياضية لتحديد المساحة التي تحقق شرطًا معينًا داخل الدائرة. سنفترض أن نصف قطر الدائرة يساوي r.

أولاً، نعرف أن مركز الدائرة يقع في النقطة (0, 0). لذا، معادلة الدائرة تكون x^2 + y^2 = r^2.

ثم، لفهم الشرط y > x، يمكننا استخدام المعادلة y = x. هذا يمثل خطًا يمر عبر الأصل بزاوية 45 درجة.

الآن، نحن بحاجة إلى حساب المساحة التي تقع فوق هذا الخط داخل الدائرة. يمكننا تقسيم هذه المنطقة إلى جزئين:

1. المنطقة الأولى (الربع الثاني): حيث x < 0 و y إيجابي. المساحة تحت الخط y = x داخل الدائرة تكون نصف دائرة، وبالتالي مساحتها تكون (1/2) × (1/4) × πr^2.

2. المنطقة الثانية (الربع الأول): حيث x إيجابي و y > x. المساحة فوق الخط y = x داخل الدائرة تكون الفرق بين مساحة القطاع الدائري والمساحة تحت الخط y = x، وبالتالي تكون مساحتها (1/4) × πr^2 – (1/2) × (1/4) × πr^2.

المجموع الكلي للمساحتين هو:

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \pi r^2 + \left(\frac{1}{4} \times \pi r^2 – \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \pi r^2\right)$

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \pi r^2 + \frac{1}{4} \times \pi r^2 – \frac{1}{8} \times \pi r^2$

$= \frac{5}{8} \times \pi r^2$

الآن، لحساب الاحتمالية، نقسم هذه المساحة إلى المساحة الإجمالية للدائرة (πr^2):

$\text{احتمالية} = \frac{\frac{5}{8} \times \pi r^2}{\pi r^2} = \frac{5}{8}$

القوانين المستخدمة هي:

1. معادلة دائرة: $x^2 + y^2 = r^2$
2. معادلة الخط: $y = x$
3. مساحة القطاع الدائري: $\frac{1}{2} \theta r^2$ (حيث $\theta$ هو زاوية القطاع في راديان)
4. مساحة الدائرة: $\pi r^2$