مسائل رياضيات

احتمالية اختيار لعبتين زوجيتين بدون استبدال

تحتوي حقيبة على 21 لعبة مرقمة من 1 إلى 21. يتم سحب لعبة ثم يتم سحب لعبة أخرى بدون استبدال. العثور على احتمالية أن تظهر كلتا اللعبتين أرقامًا زوجية.

المسألة المعربة:
تحتوي حقيبة على 21 لعبة، مرقمة من 1 إلى 21. يتم اختيار لعبة واحدة، ثم يتم اختيار لعبة أخرى بدون استبدال. ما هي احتمالية أن تكون كلتا اللعبتين تحملان أرقامًا زوجية؟

الحل:
لفهم الاحتمال، يمكننا النظر إلى الإجمالي للأحداث الممكنة والأحداث المرجوة. في هذه الحالة، لدينا 21 لعبة مختلفة يمكن اختيارها في المرة الأولى.

عدد اللعب ذات الأرقام الزوجية هو 10 (2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20). إذا كانت اللعبة الأولى تحمل رقمًا زوجيًا، فإن هناك الآن 20 لعبة متبقية، و 9 منها ذات أرقام زوجية.

إذاً، الاحتمالية في الخطوة الأولى هي 10/21، وبعد ذلك في الخطوة الثانية هي 9/20 (بعد استخدام لعبة ذات رقم زوجي في الخطوة الأولى). لحساب الاحتمال الكلي، نقوم بضرب الاحتمالين معًا:

1021×920=90420=314\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}

لذا، احتمالية أن تكون كلتا اللعبتين ذات أرقام زوجية هي 314\frac{3}{14}.

المزيد من المعلومات

بالطبع، سنقوم بتوسيع الحل وتوضيح القوانين المستخدمة في حل هذه المسألة. لنفترض أن الحقيبة تحتوي على 21 لعبة، ونريد حساب الاحتمالية أن يكون لدينا رقمين زوجيين بعد اختيار لعبتين بدون استبدال.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون الإجمال:
    إذا كان لدينا حقيبة تحتوي على 21 لعبة مختلفة، فإن عدد الطرق الممكنة لاختيار لعبة في المرة الأولى هو 21.

  2. قانون الضرب:
    إذا كان لدينا سلسلة من الأحداث المتسلسلة، يمكننا حساب احتمال حدوثها عن طريق ضرب احتمال كل حدث بالحدث التالي.

  3. قانون الاستبدال:
    في هذه المسألة، يُستخدم قانون الاستبدال للتأكيد على أن اللعبة الثانية تختار من اللعب المتبقية دون استبدال.

الحل:

لدينا 21 لعبة في الحقيبة. نريد حساب احتمالية أن تكون لدينا رقمين زوجيين.

  1. اختيار لعبة زوجية في المرة الأولى:
    هناك 10 لعبات زوجية (2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20). احتمال اختيار لعبة زوجية في المرة الأولى هو 1021\frac{10}{21}.

  2. اختيار لعبة زوجية في المرة الثانية:
    بعد اختيار لعبة في المرة الأولى، يتبقى 20 لعبة. ومن بينها، هناك 9 لعبات زوجية (لأننا لا نستبدل). احتمال اختيار لعبة زوجية في المرة الثانية هو 920\frac{9}{20}.

  3. حساب الاحتمالية الكلية:
    نستخدم قانون الضرب لحساب الاحتمالية الكلية:
    1021×920=90420=314\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}

إذاً، الاحتمالية أن تكون لدينا رقمين زوجيين بعد اختيار لعبتين بدون استبدال هي 314\frac{3}{14}.