احتمالية اختيار فتاتين في النادي (مسألة رياضيات)

في نادٍ يتألف من 10 أعضاء، يتكون من 5 أولاد و 5 بنات، يتم اختيار عضوين عشوائياً. ما هي احتمالية أن يكون العضوان المختاران من الفتيات؟

الحل:
لحساب الاحتمالية، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار عضوين من بين البنات، ومن ثم نقسمها على إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار أي عضوين من النادي.

عدد الطرق لاختيار عضوين من بين البنات هو: 5 اختيارات للعضو الأول * 4 اختيارات للعضو الثاني، لأنه بمجرد اختيار عضو واحد، يبقى 4 بنات للاختيار من بينهن.

عدد الطرق الإجمالي لاختيار أي عضوين من النادي هو: 10 اختيارات للعضو الأول * 9 اختيارات للعضو الثاني، لأنه بمجرد اختيار عضو واحد، يبقى 9 أعضاء للاختيار من بينهم.

لذلك، الاحتمالية أن يكون العضوان المختاران من الفتيات هي:
$\frac{5 \times 4}{10 \times 9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$

إذاً، الاحتمالية أن يكون العضوان المختاران من الفتيات هي $\frac{2}{9}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية وبعض القوانين المتعلقة بالاحتمالات.

أولاً، دعنا نتحقق من القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمالية للحدث المستقل: ينطبق هذا القانون عندما يكون حدثان مختلفان مستقلين من بعضهما البعض. في هذه الحالة، فإن احتمالية حدوث كلي من الحوادث هي مجرد ضرب الاحتماليات لكل حدث على حدة.

الآن، لحساب الاحتمالية التي تطلبها المسألة:

نحتاج إلى حساب عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار اثنين من الفتيات من بين الأعضاء العشرة، ومن ثم قسمتها على العدد الإجمالي لجميع الطرق الممكنة لاختيار اثنين من الأعضاء.

عدد الطرق لاختيار اثنين من البنات هو: 5 (عدد البنات) * 4 (البنات المتبقيات بعد اختيار واحد).

عدد الطرق الإجمالي لاختيار أي عضوين من النادي هو: 10 اختيارات للعضو الأول * 9 اختيارات للعضو الثاني.

ثانياً، بعد الحسابات، نحصل على الاحتمالية التي تطلبها المسألة:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار اثنين من البنات}}{\text{عدد الطرق الإجمالي لاختيار أي عضوين}}$

$= \frac{5 \times 4}{10 \times 9}$

$= \frac{20}{90}$

$= \frac{2}{9}$

إذاً، الاحتمالية أن يكون العضوان المختاران من الفتيات هي $\frac{2}{9}$.