مسائل رياضيات

احتمالية اختيار حبتين حمراوتين (مسألة رياضيات)

يحتوي وعاء على 10 حبات من الحلوى (أربع حمراء، واحدة زرقاء، وخمس بيضاء). إذا اخترت ثلاث حبات من الحلوى من الوعاء عشوائياً وبدون استبدال، فما هي احتمالية أن تكون حبتان منها حمراء؟

لحساب هذه الاحتمالية، يمكننا استخدام مفهوم الاحتمالية المشروطة. نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكننا فيها اختيار حبتين حمراوتين من بين الحبات الحمراء وحبة واحدة من الحبات الأخرى، مقسومة على عدد الطرق الإجمالي لاختيار ثلاث حبات من الوعاء.

عدد الطرق لاختيار حبتين حمراوتين من بين الحبات الحمراء: 4 حبات حمراء يمكن اختيار أي منها بـ 4 طرق، وبما أننا نريد اختيار حبتين، يمكننا فعل ذلك بـ 4 * 3 = 12 طريقة.

بعد اختيار الحبتين الحمراوتين، يمكننا اختيار حبة واحدة من الحبات البيضاء والزرقاء المتبقية. عدد الطرق لاختيار حبة واحدة من بين الحبات البيضاء والزرقاء: 5 حبات بيضاء + 1 حبة زرقاء = 6 حبات. لذا، عدد الطرق لاختيار حبة واحدة هو 6 طرق.

إجمالاً، عدد الطرق لاختيار ثلاث حبات بحيث تكون حبتان حمراوتان واحدة بيضاء أو زرقاء: 12 * 6 = 72 طريقة.

الآن، نحسب العدد الإجمالي للطرق لاختيار ثلاث حبات من الوعاء، وهو 10 * 9 * 8 = 720 طريقة.

الآن يمكننا حساب الاحتمالية باستخدام العلاقة:

P(حبتان حمراوتان وحبة واحدة بيضاء أو زرقاء)=72720=110P(\text{حبتان حمراوتان وحبة واحدة بيضاء أو زرقاء}) = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}

إذاً، الاحتمالية أن تكون حبتان من الحلوى حمراوتان وحبة واحدة منها بيضاء أو زرقاء هي 110\frac{1}{10} .

المزيد من المعلومات

لحساب الاحتمالية في هذه المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمالية المشروطة وقوانين الاحتمالات الأساسية.

قوانين الاحتمالات المستخدمة:

  1. قانون الضرب: يُستخدم لحساب الاحتمالات المتعلقة بسلسلة من الأحداث المستقلة.

  2. قانون الجمع: يُستخدم لحساب الاحتمال الإجمالي عندما تكون هناك أكثر من طريقة لحدوث الحالة المطلوبة.

  3. الاحتمالية المشروطة: تستخدم لحساب احتمالية وقوع حدث ما بشرط مسبق.

الآن، دعنا نقوم بحساب الاحتمالية باستخدام هذه القوانين:

  1. مجموع عدد الطرق لاختيار ثلاث حبات من الوعاء الذي يحتوي على 10 حبات هو 10×9×8=72010 \times 9 \times 8 = 720 طريقة.

  2. عدد الطرق لاختيار حبتين حمراوتين من بين الأربع الحمراء هو 4×3=124 \times 3 = 12 طريقة.

  3. عدد الطرق لاختيار حبة واحدة من بين الحبات البيضاء والزرقاء هو 5+1=65 + 1 = 6 طرق.

  4. لذا، إجمالي عدد الطرق لاختيار حبتين حمراوتين وحبة بيضاء أو زرقاء هو 12×6=7212 \times 6 = 72 طريقة.

  5. وبالتالي، الاحتمالية المطلوبة هي النسبة المئوية لعدد الطرق الناجحة إلى إجمالي عدد الطرق، وهي 72720=110\frac{72}{720} = \frac{1}{10}.

إذاً، الاحتمالية أن تكون حبتان من الحلوى حمراوتان وحبة واحدة منها بيضاء أو زرقاء هي 110\frac{1}{10}.