احتمالية اختيار جاك وجيل (مسألة رياضيات)

في مستشفى يعمل جاك وجيل بصحبة 7 موظفين آخرين. سيتم اختيار عشوائي لمراجعة داخلية لمقابلة 2 من بين 9 موظفين. ما هي احتمالية أن يتم اختيار جاك وجيل على حد سواء؟

لحساب هذه الاحتمالية، يمكننا استخدام مبدأ الجمع الاحتمالي. عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار جاك وجيل هما اثنان من بين التسعة موظفًا هو:

$C(9,2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36.$

وعدد الطرق الإجمالي لاختيار أي زوج من بين التسعة موظفين هو:

$C(9,2) = 36.$

إذاً، الاحتمالية أن يتم اختيار جاك وجيل في نفس الوقت هي:

$P(\text{جاك وجيل}) = \frac{\text{عدد الطرق التي تتضمن اختيار جاك وجيل}}{\text{إجمال الطرق الممكنة}} = \frac{36}{36} = 1.$

لذلك، الاحتمالية أن يتم اختيار جاك وجيل في المراجعة الداخلية هي 1.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام مبدأ الجمع الاحتمالي وقاعدة حساب الاحتمالات. دعونا نقوم بتفصيل الحل مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الجمع الاحتمالي:
   إذا كانت هناك عدة طرق لحدوث حدث ما، يمكننا جمع الاحتمالات الفردية لهذه الطرق للحصول على احتمال حدوث أي منها.

2. صيغة احتمالية الاختيار:
   لاحتمال اختيار مجموعة من $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر، يمكن استخدام صيغة الاحتمالية التالية:

   $P(\text{اختيار } k \text{ من بين } n) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

   حيث $n!$ هو عامل التجميع (الضرب التسلسلي) للعدد $n$.

حل المسألة:

1. حساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار جاك وجيل في الاختيار العشوائي:

   $C(9,2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36.$

2. حساب الطرق الإجمالية لاختيار أي زوج من بين التسعة موظفين:

   $C(9,2) = 36.$

3. استخدام قاعدة الجمع الاحتمالي لحساب احتمالية حدوث الحدث المطلوب:

   $P(\text{جاك وجيل}) = \frac{\text{عدد الطرق التي تتضمن اختيار جاك وجيل}}{\text{إجمال الطرق الممكنة}} = \frac{36}{36} = 1.$

القوانين المستخدمة:

• مبدأ الجمع الاحتمالي:
  إذا كانت هناك عدة طرق لحدوث حدث ما، فيمكن جمع الاحتمالات الفردية لهذه الطرق.

• صيغة احتمالية الاختيار:
  صيغة تحديد احتمال اختيار مجموعة معينة من العناصر من بين مجموعة أكبر.

باستخدام هذه القوانين والصيغ، تم حل المسألة وتحديد أن احتمالية اختيار جاك وجيل في المراجعة الداخلية هي 1.