احتمالات الحصول على إجابات إيجابية متتالية (مسألة رياضيات)

عندما يقوم جيف بسؤال كرة الثمانية السحرية، فإن لديه احتمالية قدرها 2/5 للحصول على إجابة إيجابية. إذا سألها جيف X أسئلة، فما هي احتمالية أن تعطيه إجابة إيجابية بالتحديد 2 مرات؟ الإجابة التي نعرفها هي 216/625. فما قيمة المتغير X غير المعروف؟

لنقم بحساب الاحتمالية باستخدام الأسلوب التالي:

نعرف أن احتمالية الحصول على إجابة إيجابية من الكرة السحرية هي 2/5، واحتمالية الحصول على إجابة سلبية هي 1 – (2/5) = 3/5.

الآن، لنحسب الاحتمالية للحصول على إجابتين إيجابيتين من بين X أسئلة.

نستخدم الصيغة التالية لحساب الاحتمال:

$P(\text{2 positive answers}) = \binom{X}{2} \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

حيث $\binom{X}{2}$ هي الطريقة لاختيار زوج من الإجابات الإيجابية من بين X سؤال.

وقيمة $\binom{X}{2}$ تُحسب بالصيغة التالية:

$\binom{X}{2} = \frac{X!}{2!(X-2)!}$

الآن، إذا كانت الإجابة المعطاة هي 216/625، فإننا نضعها تساوي الاحتمالية التي قمنا بحسابها:

$\frac{216}{625} = \binom{X}{2} \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

نحل للحصول على قيمة X. والحل هو كالتالي:

$\frac{216}{625} = \frac{X!}{2!(X-2)!} \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

$\frac{216}{625} = \frac{X(X-1)}{2} \times \frac{4}{25} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

$\frac{216}{625} = \frac{2X(X-1)}{25} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

$\frac{216}{625} = \frac{2X(X-1)}{25} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

$\frac{216}{625} = \frac{2X(X-1)}{25} \times \frac{3^{X-2}}{5^{X-2}}$

$\frac{216}{625} = \frac{2X(X-1)3^{X-2}}{25 \times 5^{X-2}}$

$\frac{216}{625} = \frac{2X(X-1)3^{X-2}}{5^{X}}$

$216 \times 5^{X} = 625 \times 2X(X-1)3^{X-2}$

$216 \times 5^{X} = 1250X(X-1)3^{X-2}$

وبعد ذلك نقوم بحل المعادلة بالتجريبية.

لحل المسألة، سنستخدم القانون الأساسي للاحتمالات وقوانين الاحتمالات المعروفة، مثل قاعدة الضرب والتوزيع الطبيعي.

أولاً، نستخدم قاعدة الضرب لحساب الاحتمالات. في هذه الحالة، لدينا احتمالية الحصول على إجابة إيجابية واحدة هي 2/5 واحتمالية الحصول على إجابة سلبية هي 3/5.

لحساب احتمالية الحصول على إجابة إيجابية معينة مرتين في التسلسل، نحتاج إلى استخدام التوزيع الطبيعي (التوزيع البنومي). يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب عدد الطرق التي يمكن فيها أن نحصل على 2 إجابات إيجابية من بين X سؤال:

$\binom{X}{2} \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$

حيث:

• $\binom{X}{2}$ هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 2 إجابة إيجابية من بين X سؤال.
• $\left(\frac{2}{5}\right)^2$ هو احتمالية الحصول على إجابتين إيجابيتين.
• $\left(\frac{3}{5}\right)^{X-2}$ هو احتمالية الحصول على إجابتين سلبيتين للسؤال الباقي.

بعد ذلك، نحل المعادلة باستخدام القيم المعطاة للإجابة (216/625) للعثور على قيمة X.

تمثل قوانين الاحتمالات والتوزيع الطبيعي الأساسية قاعدة في حساب الاحتمالات وتوزيع الأحداث العشوائية. وهي مفيدة جدًا في حل مسائل مثل هذه التي تتعلق بتقدير احتمالات حدوث أحداث معينة في سياق معين.