احتمال سحب كرات مختلفة: حلول وتفاصيل

في حقيبة يوجد 3 كرات حمراء و5 كرات صفراء و4 كرات خضراء. يتم سحب 3 كرات بشكل عشوائي. ما هو الاحتمال أن تحتوي الكرات المرسومة على كرات من ألوان مختلفة؟

الحل:
لحساب الاحتمال، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات من الحقيبة والتي تحتوي على كرات من ألوان مختلفة، وذلك مقسومًا على إجمالي عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات.

لنحسب عدد الطرق التي يمكن فيها سحب كرات من ألوان مختلفة، يمكننا القيام بذلك بطرح الطرق التي يمكن فيها سحب 3 كرات من نفس اللون من إجمالي الطرق الممكنة.

عدد الطرق لسحب 3 كرات حمراء:
$C(3,3) = 1$

عدد الطرق لسحب 3 كرات صفراء:
$C(5,3) = 10$

عدد الطرق لسحب 3 كرات خضراء:
$C(4,3) = 4$

إجمالي عدد الطرق التي يمكن فيها سحب كرات من نفس اللون:
$1 + 10 + 4 = 15$

الآن، نحسب إجمالي عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات:
$C(12,3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220$

الاحتمال المطلوب هو نسبة عدد الطرق التي يمكن فيها سحب كرات من ألوان مختلفة إلى إجمالي عدد الطرق الممكنة:
$P(\text{كرات مختلفة}) = \frac{220 – 15}{220} = \frac{205}{220}$

بتبسيط الكسر:
$P(\text{كرات مختلفة}) = \frac{41}{44}$

إذا كان الاحتمال أن تحتوي الكرات المرسومة على كرات من ألوان مختلفة هو $\frac{41}{44}$.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمال وقوانين حساب الاحتمال. القانون الرئيسي الذي نعتمد عليه في هذا الحل هو قانون الاحتمالات للحوادث المتناقضة، والذي يقول أن مجموع احتماليات حدوث حادثتين متناقضتين هو مجموع احتمالية حدوث الحدث الأول أو الحدث الثاني.

لنحسب الاحتمال أولاً، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات مختلفة. يمكننا القيام بذلك بحساب عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات من إجمالي الكرات الموجودة في الحقيبة.

عدد الكرات الإجمالي: $3 + 5 + 4 = 12$ كرة

إذاً، عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات من هذه الحقيبة:
$C(12,3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220$

الآن، لنحسب عدد الطرق التي يمكن فيها سحب 3 كرات من نفس اللون. قمنا بحساب ذلك لكل لون على حدة:

عدد الطرق لسحب 3 كرات حمراء: $C(3,3) = 1$

عدد الطرق لسحب 3 كرات صفراء: $C(5,3) = 10$

عدد الطرق لسحب 3 كرات خضراء: $C(4,3) = 4$

إجمالي عدد الطرق التي يمكن فيها سحب كرات من نفس اللون: $1 + 10 + 4 = 15$

الآن، وفقًا لقانون الاحتمالات، نقوم بحساب الاحتمال المطلوب الذي يتضمن سحب كرات من ألوان مختلفة:

$P(\text{كرات مختلفة}) = 1 – P(\text{كرات من نفس اللون})$

$P(\text{كرات مختلفة}) = 1 – \frac{\text{عدد الطرق لسحب 3 كرات من نفس اللون}}{\text{إجمالي عدد الطرق الممكنة}}$

$P(\text{كرات مختلفة}) = 1 – \frac{15}{220}$

$P(\text{كرات مختلفة}) = \frac{220 – 15}{220} = \frac{205}{220}$

بتبسيط الكسر:
$P(\text{كرات مختلفة}) = \frac{41}{44}$

لذلك، الاحتمال أن تحتوي الكرات المرسومة على كرات من ألوان مختلفة هو $\frac{41}{44}$.