أكبر قاسم مشترك لأعداد متتالية. (مسألة رياضيات)

لنعتبر مجموعة $A$ التي تحتوي على جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها كمجموع لثلاثة أعداد صحيحة متتالية. لنبحث عن أكبر قاسم مشترك لجميع الأعداد في $A$.

لنفترض أن العدد الأول في المجموعة هو $n$، إذاً يكون العدد الثاني $n + 1$ والعدد الثالث $n + 2$. لذا، مجموع هذه الأعداد يكون:

$n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$

يمكننا عبارة هذا المجموع على شكل $3(n + 1)$، حيث يُلاحظ أن الناتج هو ضعف عدد صحيح.

بما أن أي عدد صحيح يمكن تمثيله كمجموع لثلاثة أعداد صحيحة متتالية، فإن جميع الأعداد في $A$ يمكن تمثيلها على هذا النحو.

لذا، لنجد أكبر قاسم مشترك لجميع الأعداد في $A$، يجب علينا أن نحدد أكبر عامل مشترك بين جميع الأعداد في $A$. العدد $3$ هو أكبر قاسم مشترك لجميع الأعداد في $A$.

بالتالي، الإجابة هي: أكبر قاسم مشترك لجميع الأعداد في $A$ هو $3$.

لحل المسألة وإيجاد أكبر قاسم مشترك لجميع الأعداد في $A$، يمكننا القيام بالخطوات التالية:

1. تمثيل الأعداد كمجموع لثلاثة أعداد متتالية:
   نبدأ بتمثيل الأعداد كمجموع لثلاثة أعداد صحيحة متتالية، مما يعني أنها تأخذ الشكل التالي: $n + (n + 1) + (n + 2)$ حيث $n$ هو العدد الأول.

2. حساب المجموع:
   نجمع الأعداد الثلاثة معًا للحصول على مجموعها الكلي، الذي يكون $3n + 3$.

3. العامل المشترك:
   يمكن تقديم المجموع $3n + 3$ بشكل مبسط عبر اختزال العامل المشترك العددي، حيث يكون $3(n + 1)$.

4. التأكيد على القانون:
   يُلاحَظ أنه بما أن العدد $n$ هو أي عدد صحيح، فإن العدد $n + 1$ أيضًا هو عدد صحيح. بما أن العدد $n + 1$ هو الوسيط بين العددين $n$ و $n + 2$، فإن $n + 1$ يكون دائمًا عدد صحيح.

5. استنتاج النتيجة:
   نلاحظ أن $3(n + 1)$ يكون ضعف عدد صحيح، وبالتالي يمكن تمثيل جميع الأعداد في $A$ بهذا الشكل.

6. تحديد القاسم المشترك الأكبر:
   بما أن $3(n + 1)$ هو التمثيل العام لجميع الأعداد في $A$، فإن أكبر قاسم مشترك لها هو $3$.

بناءً على القوانين المستخدمة في الحل، نجد أننا اعتمدنا على الخواص الأساسية للأعداد الصحيحة وعمليات الجمع والضرب. وتحديدًا، استخدمنا قوانين الجمع والضرب والخواص العامة للأعداد الصحيحة مثل ملاحظة أن العدد المتوسط بين عددين متتاليين دائمًا يكون عدد صحيح.