أقل محيط لمثلث: 85 وحدة (مسألة رياضيات)

من المعروف أن مجموع طولين من أضلاع المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث وأصغر من مجموع الضلعين الآخرين. بالتالي، لنجد الحد الأدنى لمحيط المثلث، يجب أن نعتمد على أصغر قيمة ممكنة للضلع الثالث.

لنبدأ بتحديد الفرضيات:

لنفترض أن الضلع الثالث للمثلث يكون $x$ وهو عدد صحيح.

لدينا طول ضلعين معروفين هما 33 و 42.

نحتاج إلى التحقق من شرط معادلة المثلث:
$\text{الضلع الأول} + \text{الضلع الثاني} > \text{الضلع الثالث}$
$33 + 42 > x$
$75 > x$

الآن، نحتاج إلى التحقق من شرط العكس:
$\text{الضلع الثالث} + \text{الضلع الأول} > \text{الضلع الثاني}$
$x + 33 > 42$
$x > 9$

ونحتاج أيضًا إلى التحقق من شرط آخر:
$\text{الضلع الثالث} + \text{الضلع الثاني} > \text{الضلع الأول}$
$x + 42 > 33$
$x > -9$

من المعلوم أن $x$ يجب أن يكون أكبر من 9 وأقل من 75، وبالتالي، أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 10.

لذلك، يكون محيط المثلث هو مجموع أطوال الأضلاع:
$\text{محيط المثلث} = 33 + 42 + 10 = 85$

لحل مسألة المثلث وتحديد أقل محيط ممكن، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية للمثلثات وتطبيقها على الشروط المعطاة في المسألة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون مثلثية المثلث: في مثلث، مجموع طولين من الأضلاع يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث وأصغر من مجموع الضلعين الآخرين.

2. شروط مثلثية: لأي مثلث، طول كل ضلع يجب أن يكون أكبر من الفرق بين مجموع طولي الضلعين الآخرين والضلع الثالث.

الآن، لنقم بتفصيل الحل:

1. نعلم أن طول ضلعين من المثلث معروفان: 33 و 42.

2. نفترض أن الضلع الثالث للمثلث يبلغ $x$ وهو عدد صحيح.

3. نستخدم شروط مثلثية المثلث للتحقق من أقل قيمة ممكنة لطول الضلع الثالث.

   • مجموع الضلعين الأول والثاني يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث:
     $33 + 42 > x$
     $75 > x$

   • الضلع الثالث يجب أن يكون أكبر من الفرق بين مجموع الضلعين الآخرين والضلع الثالث:
     $x > 42 – 33$
     $x > 9$

   • الضلع الثالث يجب أن يكون أكبر من الفرق بين مجموع الضلع الأول والضلع الثالث:
     $x > 33 – 42$
     $x > -9$

4. بالتالي، أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 10 (لأنها أكبر من 9 وأقل من 75 وأكبر من -9).

5. يتبع ذلك، أقل محيط ممكن للمثلث هو مجموع طول الأضلاع:
   $\text{محيط المثلث} = 33 + 42 + 10 = 85$

باختصار، باستخدام القوانين المثلثية وتطبيق الشروط المعطاة، نحصل على أقل محيط ممكن للمثلث وهو 85 وحدة.