أقل درجة ممكنة لمعادلة الجذور (مسألة رياضيات)

نفترض أن جميع الأربعة من الأعداد $2 – \sqrt{5}, \;4+\sqrt{10}, \;14 – 2\sqrt{7}, \;-\sqrt{2}$ هي جذور لنفس المعادلة غير الصفرية بمعاملات كسورية. ما هو أقل درجة ممكنة لتلك المعادلة؟

لنبدأ بتحليل الأرقام المعطاة.

أولاً، لنلاحظ أن جميع الأرقام هي أعداد مت irrationals ولكنها تظهر على شكل معادلات جذرية، مما يعني أن المعادلة التي تحتوي على هذه الجذور يجب أن تحتوي على أقلها.

ثانيًا، نرى أن كل جذر لديه تباين بين الجذر والمعامل. مثلاً، في الرقم الأول $2 – \sqrt{5}$، الجذر $\sqrt{5}$ يظهر مع معامل -1. ونجد أيضاً أن الجذر $\sqrt{10}$ يظهر مع معامل إيجابي وهكذا.

ثالثًا، لكي نحصل على الدرجة الأقل، نحتاج إلى تكوين معادلة تحتوي على عاملين فقط لكل جذر: الجذر نفسه وعكسه. على سبيل المثال، للرقم الأول $2 – \sqrt{5}$، نحتاج معادلة بدرجة 2 تحوي جذرًا وعكسه. لكي نحقق ذلك، يمكننا ضرب كل من الجذر وعكسه للحصول على معادلة بدرجة 2.

بما أن لدينا 4 جذور، فإن أقل درجة ممكنة للمعادلة هي 8 (4 جذور × 2 درجة لكل جذر).

لذا، الدرجة الأقل للمعادلة هي 8.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الخصائص المشتركة للأرقام المعطاة ونستخدم الخواص الأساسية للجذور والمعادلات.

الخطوات التي سنتبعها هي كالتالي:

1. تحليل الأرقام المعطاة:

   • نرى أربعة أعداد: $2 – \sqrt{5}, \;4+\sqrt{10}, \;14 – 2\sqrt{7}, \;-\sqrt{2}$.

2. تحديد الخواص المشتركة:

   • جميع الأعداد هي أعداد غير منطقية معبّرة كجذور.
   • تظهر الجذور بأشكال متباينة، وبعضها مع معامل سالب وبعضها مع معامل موجب.

3. استنتاج العلاقة بين الأعداد والمعادلات:

   • نلاحظ أن كل جذر يظهر مع معامل يقابله.
   • يجب أن تحتوي المعادلة التي تحوي هذه الجذور على عوامل يتناسبان مع كل جذر: الجذر نفسه وعكسه.

4. تحديد أقل درجة ممكنة للمعادلة:

   • نريد أن نصاغ معادلة تحتوي على جميع الجذور، بحيث تكون أقل درجة ممكنة.
   • لذا، نحتاج إلى معادلة بدرجة تحتوي على عاملين لكل جذر: الجذر نفسه وعكسه.

5. حساب الدرجة الأقل:

   • لدينا 4 جذور، وكل جذر يحتاج إلى عاملين في المعادلة.
   • إذاً، أقل درجة ممكنة للمعادلة هي $4 \times 2 = 8$.

6. التأكد من الحل:

   • يمكن أن نصاغ معادلة من درجة 8 تحتوي على الجذور المعطاة.

7. تحقق من الصحة:

   • يمكن استخدام طرق إيجاد المعادلات مثل ضرب عبارات متطابقة واستخدام الهويات المتعلقة بالجذور لتكوين معادلة.

8. التأكد من أن المعادلة غير الصفرية:

   • يجب أن تكون المعادلة التي نكونها غير صفرية لكي تحتوي على جميع الجذور المعطاة.

بهذه الطريقة، نعتبر درجة 8 هي الإجابة الصحيحة لأقل درجة ممكنة للمعادلة التي تحوي الجذور المعطاة.