أقصى حاصل ضرب لمجموع 246 (مسألة رياضيات)

لنقم بتعبير المسألة الرياضية باللغة العربية:

احسب أكبر حاصل ضرب يمكن الحصول عليه من رقمين يبلغ مجموعهما 246.

الحل:

لنقم بتمثيل الرقمين بشكل عام باستخدام x و y. إذا كان مجموعهما يساوي 246، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

x + y = 246

الهدف هو العثور على أقصى حاصل ضرب، ولنكن ذكيين في اختيار الأعداد. عندما نقسم الرقم 246 إلى رقمين، يكون من الأفضل أن يكون الفارق بينهما صغيرًا. لنقم بتجربة الأعداد التي تقع في منتصف 246، وهي 123.

إذا كانت x و y يمثلان الفارق عن 123، فإن المعادلة تصبح:

x = 123 + a
y = 123 – a

حيث “a” هو الفارق بين الرقمين. الآن نقوم بحساب الحاصل ضرب:

الحاصل ضرب = x * y = (123 + a) * (123 – a)

للعثور على القيمة القصوى للحاصل ضرب، يجب أن نجعل “a” يكون قيمة صفر أو القريبة منها قدر الإمكان. لذلك نختار “a” بحيث يكون صفر، وبالتالي:

a = 0

إذاً، x = 123 و y = 123. الآن نقوم بحساب الحاصل ضرب:

الحاصل ضرب = x * y = 123 * 123 = 15,129

إذا كان لدينا x = 123 و y = 123، فإن أكبر حاصل ضرب يمكن الحصول عليه هو 15,129.

تعتبر هذه المسألة من الأمثلة الكلاسيكية في حل المسائل الرياضية باستخدام الجبر، وتتطلب فهمًا جيدًا للمفاهيم الرياضية الأساسية واستخدام بعض القوانين. سأقدم تفاصيل إضافية حول الحل والقوانين المستخدمة.

لنقم بتعريف الرقمين بشكل أكثر دقة. لنفترض أن الرقم الأول يكون $x$ والرقم الثاني يكون $y$. وفي السياق الرياضي، المعادلة التي تعبر عن مجموعهما تكون كالتالي:

$x + y = 246$

الهدف هو العثور على أقصى حاصل ضرب $xy$. لتبسيط العملية، نقوم بتجريب فكرة تمثيل الرقمين بمتوسطهما. لدينا:

$\text{متوسط الرقمين} = \frac{x + y}{2} = 123$

الآن، نستخدم القاعدة الجبرية لفرق مربعين:

$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$

نطبق هذه القاعدة على معادلتنا:

$xy = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 – (x – y)^2$

ونستخدم القاعدة الجبرية الأخرى $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ للتخلص من العبء الزائد:

$xy = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 – (x – y)^2$
$xy = 123^2 – (x – y)^2$

وهنا تأتي الفكرة الرئيسية للحل. نريد أن نقلل من قيمة $(x – y)^2$ قدر الإمكان لتكون الناتج $xy$ أكبر. ولتحقيق ذلك، يجب أن يكون $(x – y)^2$ صفرًا، وهو يحدث عندما يكون $x = y$.

بذلك، نجد أن أكبر حاصل ضرب يحدث عندما يكون الرقمين متساويين، أي $x = 123$ و $y = 123$، وبالتالي:

$xy = 123 \times 123 = 15,129$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة فرق المربعين $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
2. قاعدة جمع المربعين $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

وتم استخدام هذه القوانين لتبسيط المعادلة والعثور على الحل بشكل أفضل.