أعلى قيمة لفارق الأعداد (مسألة رياضيات)

نعتبر $q$ و $r$ عددان مكونان من رقمين موجبين، حيث يتكون كل منهما من الأرقام نفسها ولكن بترتيب عكس. إذا كان الفارق الإيجابي بين $q$ و $r$ أقل من 30، فما هو أكبر قيمة ممكنة لفارق $q – r$؟

لحسن فهم المسألة، فلنفترض أن قيمة $q$ هي $AB$ حيث $A$ و $B$ هما الرقمين، وقيمة $r$ هي $BA$ (حيث تم استبدال ترتيب الرقمين).

الآن، لحساب فارق $q – r$، نقوم بطرح $BA$ من $AB$:

$AB – BA = (10A + B) – (10B + A)$

نقوم بتبسيط هذا التعبير:

$AB – BA = 10A + B – 10B – A$

$AB – BA = 9A – 9B$

$AB – BA = 9(A – B)$

نرى أن فارق الأعداد $q$ و $r$ يمكن تعبيره بصورة مبسطة على النحو التالي: $9(A – B)$.

الآن، للحصول على أكبر قيمة ممكنة لهذا الفارق ($q – r$)، نحتاج إلى أن يكون الفارق ($A – B$) هو أكبر قيمة ممكنة، والتي تحدث عندما تكون $A$ أصغر قيمة ممكنة و $B$ أكبر قيمة ممكنة.

أقل قيمة لـ $A$ هي 1 (لأنها تكون الرقم الأصغر في العدد الثنائي)، وأعلى قيمة لـ $B$ هي 9 (لأنها تكون الرقم الأكبر في العدد الثنائي).

لذلك، نقوم بتعويض قيم $A$ و $B$ في الصيغة:

$9(1 – 9) = 9(-8) = -72$

إذاً، أكبر قيمة ممكنة لفارق $q – r$ هي -72.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بتحديد القوانين التي سنستخدمها:

1. تمثيل الأعداد:
   نمثل $q$ برقمين $AB$ حيث $A$ و $B$ هما الرقمين، ونمثل $r$ برقمين $BA$ (حيث تم استبدال ترتيب الرقمين).

2. حساب فارق الأعداد:
   لحساب فارق $q – r$، نقوم بطرح $BA$ من $AB$، ونستخدم القاعدة الرياضية للجمع والطرح.

3. الحسابات البسيطة:
   نستخدم الحسابات البسيطة لتبسيط التعابير والتوصل إلى إجابة نهائية.

الآن، سنقوم بحساب فارق $q – r$ باستخدام هذه القوانين:

نمثل $q$ برقمين $AB$ و $r$ برقمين $BA$، حيث $A$ و $B$ هما الرقمين. ثم نقوم بحساب فارق الأعداد:

$q – r = AB – BA$

نقوم بتبسيط التعبير باستخدام القاعدة الرياضية للجمع والطرح:

$q – r = (10A + B) – (10B + A)$

نجمع الأعداد المتشابهة ونحسب الناتج:

$q – r = 10A + B – 10B – A$

$q – r = 9A – 9B$

$q – r = 9(A – B)$

الآن، نحسب القيمة الأقصى لفارق $q – r$، وذلك عندما تكون قيمة $A$ أقل قيمة ممكنة وقيمة $B$ أكبر قيمة ممكنة. قيمة $A$ الأقل هي 1 وقيمة $B$ الأعلى هي 9.

نستبدل في الصيغة:

$q – r = 9(1 – 9) = 9(-8) = -72$

إذًا، القيمة الأقصى لفارق $q – r$ هي -72.