أضلاع المضلع وقياسات زواياه (مسألة رياضيات)

لنكن $n$ هو عدد الأضلاع في مضلع منتظم. عندما نتحدث عن المضلع منتظم، نعني مضلعاً يمتلك أضلاعاً متساوية الطول وزوايا داخلية متساوية القياس. السؤال يطلب منا إيجاد عدد القيم الممكنة لـ $n$ في النطاق $3\leq n < 10$، حيث يكون قياس زاويا المضلع ناتجاً عن قسمة $360$ على عدد الأضلاع $n$.

لنقم بحساب قيم $n$ التي تفي بشرط عدم كون قياس زوايا المضلع عدداً صحيحاً. إذاً، يجب أن يكون $360/n$ غير صحيح. يعني هذا أن $n$ يجب أن يكون عاملاً لغير 360. لنبدأ بفحص القيم في النطاق المعطى:

1. لنفحص $n=3$، نحسب $360/3=120$، وهو عدد صحيح.
2. لنفحص $n=4$، نحسب $360/4=90$، وهو عدد صحيح.
3. لنفحص $n=5$، نحسب $360/5=72$، وهو عدد صحيح.
4. لنفحص $n=6$، نحسب $360/6=60$، وهو عدد صحيح.
5. لنفحص $n=7$، نحسب $360/7$، وهو عدد غير صحيح.
6. لنفحص $n=8$، نحسب $360/8=45$، وهو عدد صحيح.
7. لنفحص $n=9$، نحسب $360/9=40$، وهو عدد صحيح.

إذاً، هناك قيمتين فقط لـ $n$ تفي بالشرط، وهما $n=7$ و $n=9$.

في هذه المسألة، نحاول إيجاد القيم التي تجعل قياس زوايا المضلع غير صحيح. يُعطى لنا أن $n$ يمثل عدد الأضلاع في المضلع، ونحتاج إلى فحص القيم الممكنة لـ $n$ في النطاق $3\leq n < 10$.

لحساب قياس زاويا المضلع، نستخدم العلاقة التالية:

$\text{قياس زاوية المضلع} = \frac{360}{n}$

حيث أن $360$ هو مجموع قياسات جميع الزوايا الداخلية لأي مضلع. الهدف هو التحقق مما إذا كان هذا القياس ناتجًا عن قسمة $360$ على $n$ يعطي عددًا صحيحًا أم لا.

نبدأ بفحص القيم في النطاق المعطى:

1. لـ $n=3$: نقوم بحساب $360/3 = 120$، وهو عدد صحيح.
2. لـ $n=4$: نقوم بحساب $360/4 = 90$، وهو عدد صحيح.
3. لـ $n=5$: نقوم بحساب $360/5 = 72$، وهو عدد صحيح.
4. لـ $n=6$: نقوم بحساب $360/6 = 60$، وهو عدد صحيح.
5. لـ $n=7$: نقوم بحساب $360/7$، ونجد أن هذه القيمة ليست عددًا صحيحًا.
6. لـ $n=8$: نقوم بحساب $360/8 = 45$، وهو عدد صحيح.
7. لـ $n=9$: نقوم بحساب $360/9 = 40$، وهو عدد صحيح.

لذلك، القيم التي تحقق شرط عدم كون قياس زوايا المضلع عددًا صحيحًا هي $n=7$ و $n=9$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن العلاقة بين قياس زاوية المضلع وعدد الأضلاع، وهي:

$\text{قياس زاوية المضلع} = \frac{360}{n}$

حيث تكون $360$ هي مجموع قياسات جميع الزوايا الداخلية للمضلع، و $n$ هو عدد الأضلاع.