أصغر قيمة لتعبير رياضي. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو أصغر قيمة ممكنة للتعبير $2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل التعبير $2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$.

نراجع الشروط المعطاة: $x > 0$. هذا يعني أن $x$ يجب أن يكون إيجابياً.

لنجد القيمة الصغرى للتعبير، نستخدم التفاضل والتكامل للحصول على القيمة المناسبة.

لنبدأ بالتفاضل، ونجد النقطة التي يكون فيها التعبير في أقل قيمة له. نقوم بحساب الإشتقاق الأول للتعبير:

\frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}) = \frac{d}{dx} (2 \sqrt{x}) + \frac{d}{dx} (\frac{1}{x})

لحساب الإشتقاق الأول، نستخدم قواعد الإشتقاق:

\frac{d}{dx} (2 \sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx} (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}.

\frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}.

بالتالي، نجد الإشتقاق الأول كالتالي:

\frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}) = \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2}.

الآن، نحاول أن نجد القيمة التي تجعل الإشتقاق الأول يساوي صفراً:

\frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2} = 0.

لحل هذه المعادلة، نجمع الجزءين معاً:

\frac{x^2 – \sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = 0.

ومن ثم نضرب الطرفين في $x^2\sqrt{x}$:

x^2 – \sqrt{x} = 0.

نقلب الجذر في الجهة الأخرى:

x^2 = \sqrt{x}.

ثم نربع الجانبين:

x^4 = x.

وهنا يمكننا إلاحظ أنه يمكن تحقيق ذلك عند $x = 1$ أو $x = 0$. ولكن نظراً لشرط المسألة أن $x > 0$، فنحن نستبعد $x = 0$.

لذا، القيمة الصغرى للتعبير هي عند $x = 1$.

والآن نستبدل $x$ بـ 1 في التعبير الأصلي:

2 \sqrt{1} + \frac{1}{1} = 2 \times 1 + 1 = 3.

لذا، أصغر قيمة ممكنة للتعبير هي 3.

المزيد من المعلومات