أصغر عدد صحيح لتجزئة معادلة ثانوية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد أصغر عدد صحيح موجب $b$ حتى يمكن كتابة متعامد $x^2 + bx + 2008$ كضرب لعاملين من متعامدات، وكل عامل يحتوي على معاملات صحيحة.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى فك تجزئة المعادلة $x^2 + bx + 2008$ إلى عاملين. نبدأ بتجريب الأعداد الموجبة لتجزئة $2008$.

أولاً، نبحث عن عاملين لعدد $2008$. نجد أن:
$2008 = 2^3 \times 251$

ونرى أن عاملين يضربان ليعطيان $2008$ بمعاملات صحيحة هما $(2, 1004)$.

الآن، نبحث عن كيفية توزيع $b$ بين هذين العاملين. يجب أن يكون $b$ مجموع لهما، وبما أننا نريد أصغر قيمة ممكنة لـ $b$، فإننا نختار الفرق بينهما ليكون صغيرًا.

نعرف أن العددين $2$ و $1004$ يعطيان مجموعًا يساوي $b$. لذلك:
$b = 2 + 1004 = 1006$

إذاً، العدد الأصغر الذي يمكن كتابة $x^2 + bx + 2008$ كضرب لعاملين متعامدين هو $b = 1006$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام القوانين الأساسية لتجزئة المعادلات الثانوية والحساب العددي. الخطوات التفصيلية لحل المسألة كالتالي:

1. فهم المسألة: نريد أن نجد عددًا صحيحًا موجبًا $b$ بحيث يمكن تجزئة المعادلة $x^2 + bx + 2008$ إلى عاملين، وكلاهما يحتوي على معاملات صحيحة.

2. تجزئة العدد 2008: نبحث عن العوامل للعدد $2008$. نجد أنه يمكن كتابته على النحو التالي: $2008 = 2^3 \times 251$.

3. تجزئة المعادلة الثانوية: نحتاج إلى توزيع معامل $b$ بين العاملين. لأننا نريد أصغر قيمة ممكنة لـ $b$، نبحث عن الفرق بين العوامل ونحاول أن نجعل هذا الفرق صغيرًا.

4. اختيار القيمة المناسبة لـ $b$: نعرف أن العدد الأصغر الذي يمكن كتابة $x^2 + bx + 2008$ كضرب لعاملين متعامدين هو مجموع العوامل، لأن هذا يعطي الفرق بين العوامل الأصغر. في هذه الحالة، نضيف العوامل معًا للحصول على القيمة المطلوبة لـ $b$.

5. التحقق من الإجابة: بعد حساب القيمة المتوقعة لـ $b$، يتعين علينا التحقق من أنها تنتج معادلة قابلة للتجزئة.

قوانين الجبر والحساب العددي التي تُستخدم تشمل:

• قانون الضرب: يستخدم لتجزئة العدد 2008 إلى عوامله الأساسية.
• قوانين الجمع والطرح: يستخدم لتحديد الفرق بين العوامل وتحديد القيمة المطلوبة لـ $b$.
• قوانين الجبر الثانوي: تستخدم لتجزئة المعادلة الثانوية والبحث عن الحلول الصحيحة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المذكورة أعلاه، نتمكن من الوصول إلى الحل الصحيح للمسألة بدقة وفعالية.