Kevin Kangaroo’s Geometric Hops: A Mathematical Journey (مسألة رياضيات)

بدأ كيفن الكنغر بالقفز على خط الأعداد من الصفر. يرغب في الوصول إلى النقطة 1، ولكنه يستطيع القفز فقط بنسبة $\frac{1}{3}$ من المسافة. يتعب بعد كل قفزة بحيث يستمر في القفز بنسبة $\frac{1}{3}$ من المسافة المتبقية. كم بلغت المسافة التي قفزها بعد خمس قفزات؟ قدم إجابتك ككسر عشري.

الحل:
لنقم بتمثيل المسألة بشكل رياضي. إذا كانت $d$ تمثل المسافة التي قفزها كيفن بعد القفزة الأولى، فإن المسافة التي يمكنه الوصول إليها بعد القفزة الثانية هي $\frac{1}{3}d$، وبعد القفزة الثالثة هي $\left(\frac{1}{3}\right)^2d$، وهكذا.

لدينا مجموع المسافات بعد القفزات الخمس يمثله التسلسل الهندسي:
$d + \frac{1}{3}d + \left(\frac{1}{3}\right)^2d + \left(\frac{1}{3}\right)^3d + \left(\frac{1}{3}\right)^4d$

لحساب هذا المجموع، نستخدم الصيغة لمجموع التسلسل الهندسي المحدود:
$S = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

حيث:

• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل (هنا هو $d$),
• $r$ هو نسبة الزيادة (هنا هو $\frac{1}{3}$),
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل (هنا هو 5).

نعين القيم:
$a = d$
$r = \frac{1}{3}$
$n = 5$

باستخدام هذه القيم، نقوم بحساب المجموع:
$S = \frac{d\left(1 – \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 – \frac{1}{3}}$

الآن، نقوم بحساب هذا التعبير للعثور على المسافة الإجمالية التي قفزها كيفن بعد خمس قفزات.

لنقم بتوسيع حل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية. نتناول تفاصيل الحل مع استخدام المزيد من الصياغة والتفصيل.

لنمثل المسافة التي يقفزها Kevin بعد القفزة الأولى بـ $d$. بعد القفزة الثانية، يصبح لدينا المسافة $\frac{1}{3}d$، وبعد القفزة الثالثة، يصبح لدينا $\left(\frac{1}{3}\right)^2d$، وهكذا. يمكن تمثيل هذه السلسلة بشكل رياضي كالتالي:

$d + \frac{1}{3}d + \left(\frac{1}{3}\right)^2d + \left(\frac{1}{3}\right)^3d + \left(\frac{1}{3}\right)^4d$

نريد إيجاد المجموع الإجمالي لهذه السلسلة بعد خمس قفزات. نستخدم صيغة مجموع التسلسل الهندسي المحدود:

$S = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

حيث:

• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل (هنا هو $d$),
• $r$ هو نسبة الزيادة (هنا هو $\frac{1}{3}$),
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل (هنا هو 5).

باستخدام القيم:
$a = d$
$r = \frac{1}{3}$
$n = 5$

نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$S = \frac{d\left(1 – \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 – \frac{1}{3}}$

الآن، نقوم بحساب هذا التعبير للعثور على المسافة الإجمالية التي قفزها Kevin بعد خمس قفزات.

قوانين الحساب المستخدمة:

1. مجموع التسلسل الهندسي المحدود:
   يستخدم لحساب مجموع التسلسل الهندسي عندما تكون هناك نسبة ثابتة بين العناصر المتتالية.

2. التعويض في الصيغ:
   يتم استخدام التعويض لتبسيط الصيغ الرياضية وحساب القيم النهائية.

3. التوسيع الجبري:
   يتم استخدام التوسيع الجبري لتمثيل العناصر المتتالية في التسلسل بشكل دقيق.

4. القوانين الحسابية الأساسية:
   يتم استخدام الجمع والطرح والضرب لحساب النسب والمجموعات في الصيغ الرياضية.

هذه القوانين تعكس الأساليب الرياضية التقليدية المستخدمة في حل المسائل الحسابية والتحليل الرياضي.