Brief Solution: Integer Remainder Problem (مسألة رياضيات)

إذا كان $n$ عدداً صحيحاً، فإن باقي جمع $X – n$ و $n + 3$ عند قسمته على 7 هو 3. ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:

لنبدأ بتعبير المعطيات في شكل رياضي. يُعبّر عن باقي القسمة بواسطة الرمز “mod”. لذا، المعطيات تكون:

$(X – n + n + 3) \mod 7 = 3$

نلاحظ أن $n$ و$-n$ يلغيان بعضهما البعض، لذا يمكننا تبسيط المعادلة إلى:

$X + 3 \mod 7 = 3$

لفهم الحل، يمكننا إعادة صياغة المعادلة بشكل مكافئ:

$X + 3 = 3 + 7k$

حيث $k$ عدد صحيح. ثم نقوم بترتيب المعادلة للعثور على قيمة $X$:

$X = 3 + 7k – 3$

$X = 7k$

إذا كانت $X$ تأخذ قيمًا مضاعفة للعدد 7، فإن باقي القسمة عند قسمتها على 7 سيكون دائمًا 0. ونظرًا لأن الباقي هو 3، يجب أن يكون $X$ يأخذ قيمة تجعل الجمع $X + 3$ يكون قابلاً للقسمة على 7 مع باقي 3. الحل هو أن $X$ يأخذ القيمة 7.

إذاً، $X = 7$ هو الحلاولة لهذه المعادلة.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل ونستعرض القوانين والتفاصيل بشكل أكبر.

المسألة تقول إن باقي جمع $(X – n)$ و $(n + 3)$ عند قسمته على 7 هو 3، أي:

$(X – n + n + 3) \mod 7 = 3$

نقوم بإلغاء الأعداد المتشابهة ونحصل على:

$X + 3 \mod 7 = 3$

نقوم بإعادة صياغة المعادلة بشكل مكافئ:

$X + 3 = 3 + 7k$

حيث $k$ عدد صحيح. نرغب في العثور على القيم الممكنة لـ $X$، لذا نقوم بترتيب المعادلة:

$X = 3 + 7k – 3$

$X = 7k$

الآن، لنفهم القوانين المستخدمة:

1. قانون باقي القسمة:
   إذا كان لدينا عددين صحيحين $a$ و $b$ وكان باقي قسمة $a$ على $b$ هو $r$، فإن ذلك يعبّر عنه رياضياً كـ $a \mod b = r$. في هذه المسألة، استخدمنا قاعدة باقي القسمة للتعبير عن باقي الجمع عند القسمة على 7.

2. إلغاء الأعداد المتشابهة:
   حينما تكون لدينا أعداد متشابهة في المعادلة، يمكننا إلغاءها لتبسيط الحسابات. في هذه المسألة، ألغينا $n$ و $-n$.

3. إعادة صياغة المعادلة:
   نقوم بتحويل المعادلة إلى شكل مكافئ يسهل التعامل معه، وهنا قمنا بإعادة صياغتها باستخدام “مكافأة” قسمة 7.

4. ترتيب المعادلة:
   للعثور على القيم الممكنة للمتغير المجهول، نقوم بترتيب المعادلة وتحديد الشروط التي يجب أن تتحقق للحصول على الحل.

5. الحل:
   بناءً على الشروط الموجودة، وجدنا أن $X$ يأخذ قيمًا تكون مضاعفة للعدد 7.

وبناءً على هذه القوانين والتفاصيل، نصل إلى الحل النهائي: $X = 7$.