نمو النمل: مسألة الضعف الزمني (مسألة رياضيات)

في إناء يحتوي على 50 نملة، يتضاعف عدد النمل في الإناء مرتين كل ساعة. فكم عدد النمل في الإناء بعد x ساعة؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 1600، فما قيمة المتغير غير المعروف x؟

لنقم بحساب عدد النمل في الإناء بعد x ساعة باستخدام المعلومات المعطاة.

نعلم أنه بعد كل ساعة، يتضاعف عدد النمل في الإناء. لذلك بعد ساعة واحدة سيكون هناك 50 × 2 نملة في الإناء، أي 100 نملة.

بعد ساعتين، سيتضاعف العدد مرة أخرى، لذلك سيكون هناك 100 × 2 = 200 نملة.

بعد ثلاث ساعات، سيكون هناك 200 × 2 = 400 نملة.

وهكذا، يمكننا ملاحظة أن عدد النمل يتضاعف بشكل متسارع كل ساعة.

لحساب عدد النمل بعد x ساعة، نستخدم العلاقة التالية:

عدد النمل = 50 × 2^x

وبما أن الإجابة على السؤال هي 1600، نضع قيمة النمل ونحسب قيمة x:

1600 = 50 × 2^x

لنقم بحساب x، نقوم بتقسيم الجانبين على 50:

1600 ÷ 50 = 2^x

32 = 2^x

الآن نحتاج إلى معرفة القوة التي تجعل 2 تساوي 32. يعني 2^5 = 32.

لذا، x يساوي 5.

إذا بعد 5 ساعات، سيكون هناك 1600 نملة في الإناء.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القانون الذي يصف نمو الكميات بنسبة ثابتة مع مرور الوقت، وهو مبدأ النمو الأسي، حيث يتضاعف عدد النمل كل ساعة. نستخدم أيضًا قوانين الجبر والأسس الرياضية لحساب القيم المجهولة.

لنتحقق أولاً من النمط في النمو:

• بعد ساعة واحدة: 50 نملة × 2 = 100 نملة.
• بعد ساعتين: 100 نملة × 2 = 200 نملة.
• بعد ثلاث ساعات: 200 نملة × 2 = 400 نملة.

وهكذا، يزداد عدد النمل بشكل مضاعف كل ساعة.

الآن، لنحل المعادلة لمعرفة قيمة x التي تمثل عدد الساعات:

نستخدم المعادلة التالية:
$\text{عدد النمل} = 50 \times 2^x$

حيث أن x هو عدد الساعات التي مرت.

ومن المعطيات نعرف أنه عند x = 0 (أي بعد صفر ساعة)، يكون عدد النمل 50.

وبما أن الإجابة على السؤال تساوي 1600 نملة بعد x ساعة، فإننا نعبر عن هذا بالمعادلة التالية:

$1600 = 50 \times 2^x$

لنقم بحل المعادلة:

$\frac{1600}{50} = 2^x$
$32 = 2^x$

هنا، نحتاج إلى معرفة القوة التي تجعل 2 تساوي 32. إذاً، نعرف أن $2^5 = 32$، لذا x يساوي 5.

وبالتالي، بعد 5 ساعات سيكون هناك 1600 نملة في الإناء، وهذا هو الحل الكامل للمسألة.