نمو البكتيريا: حساب زمن التضاعف (مسألة رياضيات)

تتضاعف عدد سكان ثقافة البكتيريا كل دقيقتين. كم يستغرق تقريباً ليتضاعف عدد البكتيريا من 1,000 إلى 300,000؟

لنقم بحساب عدد المضاعفات التي تحدث في هذه الفترة. نبدأ بتحديد كم مرة تتضاعف في هذه الفترة:

$\text{عدد المرات} = \frac{\text{الزيادة في العدد الإجمالي}}{\text{الزيادة في كل مرة}}$

$\text{عدد المرات} = \frac{300,000}{1,000} = 300$

الآن، نعلم أن كل مضاعفة تحدث كل دقيقتين. لذا، لنحسب الزمن الإجمالي اللازم:

$\text{الوقت الإجمالي} = \text{عدد المرات} \times \text{الزمن لكل مضاعفة}$

$\text{الوقت الإجمالي} = 300 \times 2 = 600$

إذاً، يستغرق تقريبًا 600 دقيقة أو 10 ساعات لتتضاعف عدد البكتيريا من 1,000 إلى 300,000.

لحساب الوقت الذي يحتاجه عدد البكتيريا للتضاعف من 1,000 إلى 300,000، يمكن استخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالنمو الأسي في المسائل الحسابية.

لحل هذه المسألة، نستخدم القانون الآتي:

$N(t) = N_0 \times 2^{(t/h)}$

حيث:

• $N(t)$ هو عدد البكتيريا بعد مرور وقت $t$.
• $N_0$ هو العدد الابتدائي للبكتيريا.
• $h$ هو وقت التضاعف (في هذه الحالة 2 دقيقة).

نقوم بتعويض القيم المعطاة في المسألة:

$300,000 = 1,000 \times 2^{(t/2)}$

نقوم بحساب السطر الذي يحتوي على المجهول ($t$). لحساب ذلك، نقوم بقسمة الطرفين على $N_0$ ومن ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي:

$\frac{300,000}{1,000} = 2^{(t/2)}$

$300 = 2^{(t/2)}$

$\log(300) = \frac{t}{2} \log(2)$

$t = \frac{\log(300)}{\log(2)} \times 2$

باستخدام الآلة الحاسبة أو الحاسبة العلمية، نجد أن $t \approx 600$ دقيقة.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قانون النمو الأسي: $N(t) = N_0 \times 2^{(t/h)}$
2. استخدام لوغاريتم الطبيعي لحساب الزمن $t$ في حالة النمو الأسي.

هذه القوانين تستخدم لفهم وحساب تطور الأنظمة ذات النمو الأسي، حيث يكون الزيادة نسبية بناءً على الوقت.