نمط تكرار الأعداد في ترتيب (مسألة رياضيات)

الأعداد في هذا الترتيب يتم تنظيمها في صفوف، حيث تكون الصفوف الفردية تحتوي على أعداد متكررة بمقدار زوجي، في حين يحتوي الصفوف الزوجية على أعداد متكررة بمقدار زائد وحدة.

الصف الأول: 2، 2
الصف الثاني: 4، 4، 4، 4
الصف الثالث: 6، 6، 6، 6، 6، 6
الصف الرابع: 8، 8، X، 8، 8، 8

نحن نرغب في حساب قيمة X. للقيام بذلك، نستطيع مراعاة النمط في الترتيب. في الصف الرابع، يمكننا ملاحظة أن القيمة X تكون مقدارها القيمة السابقة (8) مضافًا إليها وحدة. لذا:

X = 8 + 1 = 9

لذا، قيمة العدد في الموقع الـ 40 ستتبع نفس النمط، حيث تكون قيمتها السابقة (العدد في الموقع الـ 39) مضافًا إليها وحدة. إذاً:

العدد في الموقع الـ 40 = العدد في الموقع الـ 39 + 1

ونستمر في تكرار هذه العملية حتى نصل إلى الموقع الـ 40.

في هذا الترتيب، يتبع كل صف نمطًا معينًا. لفهم هذا النمط وحساب قيمة X، يمكننا استخدام بعض القوانين والملاحظات.

أولًا، لنلاحظ النمط في كيفية تكرار الأعداد في الصفوف. يظهر أن الأعداد في الصفوف الفردية تتكرر بمقدار زوجي، بينما تتكرر الأعداد في الصفوف الزوجية بمقدار زائد وحدة.

ثانيًا، لحساب قيمة X، يمكننا مراعاة أن القيمة X في الصف الرابع هي القيمة السابقة في الصف زائد وحدة. لذا، نستنتج أن قيمة X هي 8 + 1 = 9.

الآن، بموجب هذا النمط، يمكننا حساب العدد في الموقع الـ 40. لفهم ذلك، نقوم بحساب عدد الصفوف الكاملة التي مرت (لأن كل صف يحتوي على عدد زوجي من الأعداد) والعدد في الصف الأخير.

إذا كنا نفترض أن k هو عدد الصفوف التي مرت، فإن عدد الأعداد الكلي في هذه الصفوف يكون 2 + 4 + 6 + … + (2k)، وهو مجموع تسلسل الأعداد الزوجية حتى 2k. قانون حساب هذا التسلسل هو:

$S_k = 2 + 4 + 6 + … + (2k) = k(k + 1)$

حيث $S_k$ هو مجموع الأعداد في k صف.

الآن، إذا كانت الصفوف الفردية هي k، فإن الصفوف الزوجية هي k – 1. لذا، إجمالي عدد الأعداد في الصفوف (بما في ذلك الصف الأخير) يكون:

$S_{\text{total}} = S_k + S_{k-1}$

وبما أننا نعرف قيمة k التي تمثل عدد الصفوف الفردية، يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب العدد في الموقع الـ 40 باستخدام القانون:

$\text{العدد في الموقع 40} = S_{\text{total}} + 1$

وهذا لأننا نضيف 1 للانتقال من العدد في الموقع 39 إلى العدد في الموقع 40.