نمط التكرار في كسر $\frac{3}{13}$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو النمط المتكرر المكوّن من 6 أرقام في التمثيل العشري للكسر $\frac{3}{13}$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نبدأ بتقديم كسر $\frac{3}{13}$ إلى تمثيله العشري. للقيام بذلك، نقوم بالقسمة الطويلة:

نلاحظ أن البقية تبدأ في الظهور بعد عمليتي القسمة الثالثة والرابعة، وهي 230769. هذا يشير إلى أنه بدءًا من الخانة الثالثة بعد الفاصلة العشرية، يبدأ النمط المتكرر بوحدات عشرات الألف، ثم مئات الآلاف، ثم وحدات الآلاف، ثم عشرات الآلاف، ثم مئات الآلاف، وأخيرًا وحدات المليارات. يتكرر هذا النمط مرارًا وتكرارًا في الأعداد اللاحقة.

لذلك، النمط المتكرر المكوّن من 6 أرقام في التمثيل العشري لكسر $\frac{3}{13}$ هو 230769.

لحل مسألة العثور على النمط المتكرر في التمثيل العشري لكسر $\frac{3}{13}$، نستخدم عملية القسمة الطويلة للأعداد العشرية. هذه العملية تستند إلى عدة قوانين ومفاهيم:

1. قوانين القسمة الطويلة: نقوم بتقسيم العدد الأول (المقسوم) على العدد الثاني (المقسوم عليه)، ونتابع العملية باستخدام الأرقام الصحيحة والأرقام العشرية.

2. مبدأ التكرار في الأعداد العشرية: إذا كان هناك تكرار لأرقام معينة بعد الفاصلة العشرية في نتيجة القسمة، فإن هذا التكرار يدل على وجود نمط متكرر في التمثيل العشري للكسر.

3. العمليات الأساسية في الحساب العشري: نقوم بالجمع والطرح للحصول على الأرقام الجديدة بعد كل خطوة في عملية القسمة الطويلة.

الآن، بعد تطبيق هذه القوانين والمفاهيم، نقوم بعملية القسمة الطويلة لكسر $\frac{3}{13}$ ونتحقق من النمط المتكرر:

خلال هذه العملية، نتبع التكرار وظهور الأرقام بعد الفاصلة العشرية. نجد أن النمط المتكرر هو “230769”. هذا النمط يظهر بعد الخطوات الثالثة والرابعة من عملية القسمة، ويتكرر بشكل متسلسل بعد ذلك.

باستخدام هذه القوانين والعمليات، نستطيع فهم العملية وتحديد النمط المتكرر في التمثيل العشري لكسر $\frac{3}{13}$.