نقطة تقاطع أسنان الدالة: تحليل وحساب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

يطلب منا تحديد النقطة التي تتقاطع فيها الأسنان للرسم البياني للمعادلة $y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$.

الحل:

لحل هذه المسألة، سنبدأ بحساب مواقع الأسنان الرأسية والأفقية للمنحنى. تذكر أن الأسنان الرأسية تظهر في القيم التي يتم فيها تقسيم الدالة على الصفر، في حين تظهر الأسنان الأفقية عندما يقترب المتغير بلا حدود إلى قيم معينة. للبدء، نراجع الدالة لتحديد النقاط التي يجب تجنبها في الرسم.

أولاً، سنقوم بتحليل الدالة لمعرفة سلوكها:
$y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$

نرى أن البولينوميال في البسط والمقام يمكن أن يُعبَّر بشكل مكافئ عن طريق عامل مشترك، وهو $(x – 1)^2$.

$y = \frac{(x – 1)^2 – 1}{(x – 1)^2}$

الآن، بعد تبسيط الدالة، يمكننا رؤية أن $x = 1$ هو قيمة غير مسموح بها للمقام، لأنها ستؤدي إلى قسمة على الصفر. لذا، سيكون لدينا أسنان رأسية عند $x = 1$.

الآن، سنقوم بتحليل سلوك الدالة عند $x \to \pm\infty$ لنحدد مواقع الأسنان الأفقية.

عندما يقترب $x$ من اللانهاية، يميل المقام والبسط إلى أن يكونا متساويين بحيث يكون الناتج 1. لذا، ستكون هناك أسنان أفقية عند $y = 1$.

بما أن الدالة قائمة على البسط والمقام نفسهما، فسيكون الأسنان الأفقية الثانية عند $y = 1$ أيضًا.

لتحديد نقطة تقاطع الأسنان، يجب أن نحل المعادلة $y = 1$.

$\frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4} = 1$

بعد حل المعادلة، سنجد القيمة التي تقع على خط الأسنان.

$x^2 – 4x + 3 = x^2 – 4x + 4$

يتبقى لدينا:

$3 = 4$

هذه معادلة خاطئة، لذا لا يوجد نقطة تقاطع إذ لا تتقاطع الأسنان.

باختصار، الرسم البياني للدالة ليس لديه نقط تقاطع للأسنان؛ لأن الأسنان الأفقية والرأسية لا تتقاطع.

لحل المسألة وتحديد النقطة التي تتقاطع فيها الأسنان، سنقوم بتحليل الدالة واستخدام القوانين التالية:

1. تحليل الدالة: نبدأ بتحليل الدالة $y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$ لفهم سلوكها وخصائصها. في هذا التحليل، نركز على الأسنان الرأسية والأفقية للمنحنى.

2. الأسنان الرأسية: نحتاج إلى تحديد القيم التي تؤدي إلى قسمة على الصفر في المقام. هذه القيم هي النقاط التي تكون فيها البسط والمقام متساويين. في هذه الحالة، نجد أن $x = 1$ هو قيمة غير مسموح بها للمقام.

3. الأسنان الأفقية: نحتاج إلى فهم سلوك الدالة عندما يقترب المتغير $x$ من اللانهاية. في هذه الحالة، يتبادر إلى الذهن أن الدالة تقترب من قيمة معينة عندما تكون $x$ كبيرة جدًا. بعد التحليل، نجد أن الدالة تقترب من $y = 1$ كلما ازدادت قيمة $x$.

4. حساب نقطة التقاطع: بعد تحديد الأسنان الرأسية والأفقية، نقوم بحساب النقطة التي تتقاطع فيها الأسنان. لفعل ذلك، نضع $y = 1$ ونحل المعادلة لنجد القيم المحتملة لـ $x$.

5. التحقق من النقطة المحتملة: بعد العثور على النقطة المحتملة، نقوم بالتحقق من صحة هذه النقطة عن طريق وضعها في الدالة الأصلية لنرى ما إذا كانت تلبي الشروط الأساسية للتقاطع.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المتعلقة بالأسنان وتحليل الدوال، نستطيع حل المسألة وتحديد موقع التقاطع بدقة.