نقاط الدائرة: صحيحة ومتساوية البعد

نعتبر دائرةً مركزها الأصل (نقطة (0،0)) ونصفُ قطرها 5 ونسميها دائرة “C”. نريد معرفة عدد النقاط “q” على هذه الدائرة التي تملك إحداثيات صحيحة.

لنقم بفحص جميع النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة داخل أو على حدود هذه الدائرة. يمكننا استخدام مفهوم المسافة بين نقطتين للتحقق مما إذا كانت نقطة معينة تقع على الدائرة.

المسافة بين نقطتين (x₁، y₁) و (x₂، y₂) في الفضاء ذاتي الأبعاد هي:

$d = \sqrt{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}$

في حالة دائرة مركزها الأصل (0،0) ونصف قطرها 5، يكون المعادلة التالية هي معادلة الدائرة:

$x² + y² = r²$

حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

وفي حالتنا $r = 5$، لذا المعادلة تصبح:

$x² + y² = 5²$

الآن، لنقم بفحص جميع النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة. إذا كانت مسافة النقطة (x،y) عن الأصل (0،0) تساوي 5، فإنها تقع على حدود الدائرة.

باستخدام العد التحليلي، يمكننا تحديد النقاط التي تحقق هذا الشرط. سنجد أن هناك 8 نقاط في الرباعين الأربعة (الربع الأول، الربع الثاني، الربع الثالث، والربع الرابع) حيث تكون إحداثياتها على حدود الدائرة:

1. (5، 0) و(-5، 0) على السطر الأفقي.
2. (0، 5) و(0، -5) على السطر الرأسي.
3. (3، 4) و(-3، -4) في الربع الأول.
4. (4، 3) و(-4، -3) في الربع الأول.

لذا، هناك 8 نقاط على الدائرة التي تحمل إحداثيات صحيحة.

لحل مسألة العثور على عدد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها 5، يمكننا استخدام قوانين هندسة الأحداثيات وقانون معادلة دائرة.

قوانين هندسة الأحداثيات:

1. معادلة مسافة بين نقطتين:
   $d = \sqrt{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}$

2. معادلة دائرة مركزها الأصل:
   $x² + y² = r²$
   حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

الخطوات:

1. معرفة معادلة الدائرة:
   $x² + y² = 5²$

2. استخدام المعادلة لفحص النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة:
   نحتاج إلى البحث عن جميع الأزواج (x، y) حيث تكون المسافة بين (x،y) و(0،0) تساوي 5. يمكننا استخدام القوانين المذكورة أعلاه لتحقيق ذلك.

3. تحديد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة:
   يمكننا العثور على النقاط عندما تكون $d = \sqrt{x² + y²}$ تساوي 5. هناك العديد من الطرق للقيام بذلك، ولكن الأسهل هو تحديد جميع القيم الممكنة لـ $x$ و $y$ في النطاق من -5 إلى 5 وفحص كل نقطة على حدة.

4. النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة:
   يمكننا العثور على 8 نقاط ذات الإحداثيات الصحيحة على حدود الدائرة وهي:

   • (5، 0) و(-5، 0) على السطر الأفقي.
   • (0، 5) و(0، -5) على السطر الرأسي.
   • (3، 4) و(-3، -4) في الربع الأول.
   • (4، 3) و(-4، -3) في الربع الأول.

بهذا، نكون قد استخدمنا قوانين هندسة الأحداثيات لحل المسألة بشكل دقيق ونوعي.