نقاط التقاطع للخط الرياضي

الخط $a = x^2 – x^3$ يلامس محور الأفق (المحور x) في كم نقطة على مستوى الإحداثيات ثنائي الأبعاد؟

حل المسألة:
لحساب عدد نقاط التلامس مع المحور x، يجب أن نحدد قيم x التي تجعل المعادلة $a = x^2 – x^3$ تساوي صفرًا لأن النقاط التي يلامس فيها الخط المحور x تحدث عندما يكون $y = 0$.

المعادلة:
$x^2 – x^3 = 0$

تحليل المعادلة:
$x^2(1 – x) = 0$

هنا يكون إحدى العوامل هو صفر:
$x^2 = 0$ أو $1 – x = 0$

لذلك نحصل على قيمتين لـ x:
$x = 0$ أو $x = 1$

لكن يجب أن نلاحظ أن عامل $x^2$ يعطي نقطة واحدة فقط (عند $x = 0$) لأنه يتكرر مرتين. بينما يعطي عامل $(1 – x)$ نقطة إضافية عند $x = 1$.

إذاً، الخط $a = x^2 – x^3$ يلامس المحور x في نقطتين: $x = 0$ و $x = 1$.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً.

نريد حساب عدد نقاط التقاطع بين الخط $a = x^2 – x^3$ والمحور $x$. لفعل ذلك، يجب أن نضع قيمة $y$ (التي تمثل الارتفاع على محور $y$) تكون تساوي صفر. يعني هذا أننا نقوم بحل المعادلة $x^2 – x^3 = 0$ للعثور على القيم المناسبة لـ $x$ التي تجعل $y$ يساوي صفر.

المعادلة تأخذ الشكل التالي:
$x^2 – x^3 = 0$

نقوم بتحليل المعادلة عن طريق استخدام قاعدة العامل المشترك، ونجد أن لدينا عامل مشترك هو $x^2$، وبالتالي نستخرجه:
$x^2(1 – x) = 0$

هنا، نستنتج أن إحدى العوامل هي $x^2 = 0$، وهي تعطي قيمة واحدة عند $x = 0$، والعامل الآخر هو $(1 – x)$، وهو يعطي قيمة إضافية عند $x = 1$.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. خاصية الضرب الصفري:
   إذا كانت المضاعفة $ab = 0$، فإن إما $a = 0$ أو $b = 0$.

2. تحليل العامل المشترك:
   عندما يكون لدينا معادلة تحتوي على عوامل مشتركة، يمكننا استخراج هذه العوامل للتسهيل في حل المعادلة.

باستخدام هذه القوانين، نحل المعادلة ونجد أن الخط $a = x^2 – x^3$ يلامس المحور $x$ في نقطتين: $x = 0$ و $x = 1$، وهذا هو الحل المفصل للمسألة.