نطاق وظيفة خطية: التحديد والتمثيل (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x)$ وظيفة معرّفة فقط للقيم بين 0 و 1 (شاملة)، و $f(x) = ax + b$، حيث $a$ سالب، فما هو نطاق $f$ بالنسبة لـ $a$ و $b$؟

لنبدأ بتعريف النطاق (range) للدالة $f(x)$. النطاق هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة. في هذه الحالة، $f(x)$ هي خط مستقيم بميل سالب، لذا يمكننا أن نحدد النطاق من خلال دراسة تصرف الدالة.

من المعطيات، نعلم أن $a$ سالب، وهذا يعني أنه كلما زادت قيمة $x$، كلما قلت قيمة $f(x)$ والعكس صحيح. بمعنى آخر، الدالة تنحدر نحو الأسفل عندما نتحرك من اليسار إلى اليمين على المحور $x$.

لنتحقق من نطاق الدالة بالنظر إلى حدود النطاق، أي الحد الأدنى والحد الأعلى لقيم $f(x)$ للنطاق المحدد.

1. الحد الأدنى للنطاق:
   عندما $x = 0$، نحصل على $f(0) = b$. إذاً، أدنى قيمة للنطاق هي $b$.

2. الحد الأعلى للنطاق:
   عندما $x = 1$، نحصل على $f(1) = a + b$. نظرًا لأن $a$ سالب، فإن أكبر قيمة يمكن أن تأخذها الدالة هي عند $x = 1$ وهي $a + b$.

لذا، النطاق الكامل للدالة $f(x)$ هو مجموعة القيم بين الحد الأدنى والحد الأعلى ويتم تمثيله بالشكل التالي في علامة النطاق:
$[b, a + b]$

هذا هو النطاق الكامل للدالة $f(x)$ في الشروط المعطاة، حيث أن $b$ هو الحد الأدنى و $a + b$ هو الحد الأعلى للنطاق.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالدوال الخطية وفهم النطاق والمجال في الرياضيات.

القوانين المستخدمة:

1. تمثيل الدالة الخطية: الدالة $f(x) = ax + b$ تمثل معادلة خط مستقيم حيث $a$ يمثل ميل الخط و $b$ يمثل قيمة تقاطع المحور الصادرة (y-intercept).
2. النطاق والمجال: النطاق هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة، بينما المجال هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها المتغيرات المستقلة.
3. ميل الخط السالب: عندما يكون ميل الخط (المعامل $a$) سالبًا، يعني ذلك أن الخط يميل للأسفل من اليسار إلى اليمين على مستوى الرسم البياني.

الآن، لنقوم بحساب النطاق للدالة $f(x)$:

• الحد الأدنى للنطاق ($f(x)$ عند أقل قيمة ممكنة لـ $x$): عندما $x = 0$، يكون $f(0) = b$. لذا، الحد الأدنى للنطاق هو $b$.
• الحد الأعلى للنطاق ($f(x)$ عند أعلى قيمة ممكنة لـ $x$): عندما $x = 1$، يكون $f(1) = a + b$. نظرًا لأن $a$ سالب، فإن الحد الأعلى للنطاق هو عند $x = 1$ وهو $a + b$.

بالتالي، النطاق الكامل للدالة $f(x)$ يكون:
$[b, a + b]$

هذا يشير إلى أن قيم $f(x)$ تتراوح بين $b$ و $a + b$، وهي النطاق الذي يغطي جميع القيم الممكنة لـ $f(x)$ في الشروط المعطاة.

يمكن أن نستنتج هذا من خلال فهم الصفات الأساسية للدوال الخطية وتطبيق القوانين الرياضية المتعلقة بها، مما يسمح لنا بتحديد النطاق بشكل دقيق.