نطاق وتحليل دالة كسرية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تريد أن تحدد نطاق الدالة $\ell(y) = \frac{1}{(y-2)+(y-8)}$.
الحل:
لحساب نطاق الدالة، نبحث عن القيم الممكنة للمتغير $y$ التي تجعل الدالة معرَّفة.
نبدأ بفحص المقام (البسط) للدالة، الذي يكون:
$(y – 2) + (y – 8)$
للتبسيط، نقوم بجمع المثنيات:
$y – 2 + y – 8 = 2y – 10$
الآن، نركز على البسط لحساب النطاق. يجب أن يكون المقام غير مساوٍ للصفر حتى لا يحدث قسمة على الصفر.
الآن، نرى أن المقام لن يكون مساويًا للصفر لأي قيمة حقيقية لـ $y$، لأنه عندما $y = 5$، يكون المقام غير مساوٍ للصفر.

بالتالي، المقام سيكون مختلفًا عن الصفر لجميع القيم الحقيقية لـ $y$، باستثناء $y = 5$.
وبما أن المقام سيكون غير مساوٍ للصفر لجميع القيم الحقيقية لـ $y$، فإن النطاق الخاص بالدالة هو جميع الأعداد الحقيقية.
بالتالي، يمكن تعبير النطاق بالدالة بشكل المجموعة العددية المكتوبة بالشكل التالي:
$\text{نطاق}~\ell(y) = (-\infty, +\infty)$

لحل المسألة وتحديد نطاق الدالة $\ell(y) = \frac{1}{(y-2)+(y-8)},$ سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين والخطوات الرياضية:

1. البحث عن قيم محظورة (المتغيرات المحظورة): نبدأ بالتحقق مما إذا كان هناك قيم للمتغير $y$ يجعل المقام (البسط) يكون صفراً، حيث أن القسمة على الصفر غير مسموح بها.
2. تبسيط الدالة: نقوم بتبسيط المقام (البسط) للدالة.
3. تحديد القيم الممنوعة: بعد التبسيط، نحدد القيم التي تجعل المقام يساوي الصفر.
4. تحديد النطاق: بعد استبعاد القيم الممنوعة، نكون قد حددنا النطاق الذي تتغير فيه الدالة.

الآن دعونا نتبع هذه الخطوات بتفصيل:

1. البحث عن القيم المحظورة:
   نحتاج إلى التأكد مما إذا كانت هناك أي قيم لـ $y$ تجعل المقام يساوي الصفر. نجد أن:
   $(y – 2) + (y – 8) = 2y – 10$
   المقام لا يمكن أن يساوي الصفر لأي قيمة حقيقية لـ $y$، لأن $2y – 10$ لا يمكن أن يساوي الصفر.

2. تبسيط الدالة:
   نقوم بتبسيط المقام (البسط) للدالة:
   $\ell(y) = \frac{1}{2y – 10}$

3. تحديد القيم الممنوعة:
   لا يوجد أي قيم محظورة لـ $y$ تجعل المقام يساوي الصفر.

4. تحديد النطاق:
   بعد استبعاد القيم الممنوعة، نجد أن الدالة معرَّفة لجميع القيم الحقيقية لـ $y$، وبالتالي النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.
   وبالتالي، يمكن تعبير النطاق بالدالة بشكل المجموعة العددية المكتوبة بالشكل التالي:
   $\text{نطاق}~\ell(y) = (-\infty, +\infty)$

القوانين المستخدمة:

• قانون عدم المساواة للقسمة: لا يمكن قسم عدد على الصفر.
• خاصية تبسيط العبارات الرياضية: لتحويل العبارات المعقدة إلى أشكال أكثر بساطة.
• فهم النطاق وقوانينه: فهم أن النطاق يمثل مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير بدون أن تجعل الدالة غير معرفة.