المسألة الرياضية:
ما هو نطاق الدالة $y=\log_2 (\sqrt{\cos x})$ للقيم $-90^\circ< x < 90^\circ$؟
الحل:
نريد أولاً أن نفحص نطاق الدالة $y=\sqrt{\cos x}$.
الدالة $\cos x$ تتأخذ قيمًا بين -1 و 1، ولكن نريد فقط القيم الإيجابية للجذر. بما أن الجذر يأخذ قيمًا موجبة فقط، فإننا نريد معرفة القيم التي تكون $\cos x$ إيجابية، وهي تتمثل في الربعين الأول والرابع من الدائرة الموحدة.
الربع الأول: $0 < x < 90^\circ$ الربع الرابع: $-90^\circ < x < 0$
في الربع الأول، قيمة $\cos x$ إيجابية، وفي الربع الرابع، $\cos x$ سلبية. ولكن نظرًا لأننا نريد القيم الموجبة للجذر، فإننا نركز على الربع الأول فقط.
الآن، لدينا $0 < x < 90^\circ$ و $\cos x > 0$.
ثم نأخذ الجذر التربيعي للناتج، مما يعطينا:
$\sqrt{\cos x}$
والآن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لهذا الناتج، مما يعطينا:
$y = \log_2 (\sqrt{\cos x})$
نلاحظ أن اللوغاريتم الطبيعي يأخذ القيم الإيجابية فقط، ولكن نحن نفحص القيم في النطاق $-90^\circ< x < 90^\circ$، حيث يكون اللوغاريتم الطبيعي معرفًا.
لذا، نقوم بحساب الناتج $\log_2 (\sqrt{\cos x})$ في هذا النطاق.
نقوم بتحديد القيم الحدودية لـ $y$ عند أقصى قيمة لـ $x$ وأدنى قيمة لـ $x$، ونحسب اللوغاريتم الطبيعي للجذر تربيعي لـ $\cos x$ في كلتا الحالتين.
لأقصى قيمة لـ $x$ (90 درجة):
$\cos 90^\circ = 0$
$\sqrt{\cos 90^\circ} = 0$
$\log_2 (0)$ غير معرفة في الأعداد الحقيقية.
لأدنى قيمة لـ $x$ (-90 درجة):
$\cos (-90^\circ) = 0$
$\sqrt{\cos (-90^\circ)} = 0$
$\log_2 (0)$ غير معرفة في الأعداد الحقيقية.
إذًا، نطاق الدالة هو القيم التي تتواجد بين القيم المعرفة للدالة، وهي غير معرفة.
المزيد من المعلومات
لحل مسألة نطاق الدالة $y=\log_2 (\sqrt{\cos x})$ للقيم $-90^\circ< x < 90^\circ$، سنقوم بتحليل الدالة خطوة بخطوة واستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية التالية:
-
مفهوم الجذور واللوغاريتمات: نحتاج إلى فهم كيفية عمل الجذور واللوغاريتمات وخصائصها.
-
خصائص الدوال اللوغاريتمية والتربيعية: سنستخدم خصائص الدوال اللوغاريتمية والتربيعية لتحليل الدالة وحساب النطاق.
-
مفهوم الدوال المثلثية: سنستخدم قيم الدوال المثلثية لتحديد النطاق الممكن للدالة.
الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة:
أولاً، نبدأ بتحليل الدالة $y=\sqrt{\cos x}$:
- الدالة $\cos x$ تأخذ قيمًا بين -1 و 1.
- لكننا نريد القيم الموجبة للجذر، لذا نركز فقط على القيم الموجبة لـ $\cos x$.
- تظهر القيم الموجبة لـ $\cos x$ في الربعين الأول والرابع من الدائرة الموحدة.
الآن، نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للناتج $\sqrt{\cos x}$:
- اللوغاريتم الطبيعي يأخذ القيم الإيجابية فقط.
- نركز على الربع الأول فقط حيث $\cos x > 0$.
- لذا، نحسب $\log_2 (\sqrt{\cos x})$ في النطاق $0 < x < 90^\circ$.
الآن، نحسب الحدود الخارجية للدالة:
- لأقصى قيمة لـ $x$ (90 درجة): $\cos 90^\circ = 0$.
- لأدنى قيمة لـ $x$ (-90 درجة): $\cos (-90^\circ) = 0$.
تحتاج هنا إلى ملاحظة أن اللوغاريتم الطبيعي من الصفر غير معرف في الأعداد الحقيقية، لذا الدالة غير معرفة في هذه الحالة.
بالمجمل، نطاق الدالة هو القيم التي تتواجد بين القيم المعرفة للدالة، وهي غير معرفة.
باختصار، الحل يعتمد على فهم خصائص الدوال المستخدمة وتحديد النطاق بناءً على تلك الخصائص والقيم المسموح بها للمتغيرات في المجال المعطى.