مسائل رياضيات

نطاق دالة الجذور المتداخلة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد النطاق (المجال) للدالة f(x)=123xf(x) = \sqrt{1 – \sqrt{2 – \sqrt{3 – x}}}

الحل:
لحساب النطاق (المجال) للدالة f(x)=123xf(x) = \sqrt{1 – \sqrt{2 – \sqrt{3 – x}}} ، نحتاج إلى مراجعة قواعد الدوال الموجبة في الجذور.

أولاً، نبدأ باستخدام الجذر الخارجي، الذي يتطلب أن يكون محتوى الجذر (المتبقي) داخل الجذر أكبر من أو يساوي الصفر:
23x02 – \sqrt{3 – x} \geq 0
هذا يعني أن 3x2\sqrt{3 – x} \leq 2
نربع الطرفين للحصول على:
3x43 – x \leq 4
x1-x \leq 1
x1x \geq -1
لكن نحتاج أيضًا للنظر إلى الدوال الموجبة داخل الجذر. يجب أن يكون محتوى الجذر داخل الجذر الثاني أكبر من أو يساوي الصفر:
3x03 – x \geq 0
هذا يعني أن 3x0\sqrt{3 – x} \geq 0
3x03 – x \geq 0
x3-x \geq -3
x3x \leq 3

وأخيراً، نحن بحاجة إلى التحقق من أن المحتوى داخل الجذر الأخير أكبر من أو يساوي الصفر:
3x03 – x \geq 0
x3x \leq 3

بالمقارنة بين جميع الشروط، نجد أن تلك الشروط تتطابق، فالنطاق المسموح للدالة f(x)f(x) هو:
1x3-1 \leq x \leq 3

وبالتالي، النطاق (المجال) للدالة f(x)f(x) هو جميع الأعداد الحقيقية بين -1 و 3، مع الاحتفاظ بالتشكيل المتمثل في قواعد الدوال الجذرية الموجبة.

المزيد من المعلومات

لحساب نطاق الدالة f(x)=123xf(x) = \sqrt{1 – \sqrt{2 – \sqrt{3 – x}}}، نحتاج إلى مراجعة قوانين الدوال الموجبة وتطبيقها على كل جزء من الدالة.

لنبدأ بتفصيل الحل والقوانين المستخدمة:

  1. القوانين المستخدمة:

    • قانون إشارة الجذور: يتطلب أن يكون محتوى الجذور الحقيقية داخل الجذور موجباً.
    • قوانين الجذور: تحديد نطاق القيم التي تجعل الجذور حقيقية.
  2. تحليل الدالة:
    نبدأ باستخدام الجذر الخارجي، ونحن بحاجة إلى التأكد من أن المحتوى داخل الجذر (المتبقي) يكون موجباً:
    23x02 – \sqrt{3 – x} \geq 0
    حيث أن 23x2 – \sqrt{3 – x} يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفر.

    • نقوم بحساب النطاق للجذر الداخلي:
      3x03 – x \geq 0
      من هنا نحصل على x3x \leq 3.
  3. تحليل الجذر الداخلي:
    الآن، نحتاج إلى التأكد من أن المحتوى داخل الجذر الثاني موجب:
    3x03 – x \geq 0
    الذي يعطينا نطاقًا إضافيًا x3x \leq 3.

  4. التحقق النهائي:

    • نربع النطاقات للتحقق من صحتها.
      • النطاق الخارجي: x3x \leq 3
      • النطاق الداخلي: x1x \geq -1
    • نجد أن النطاق النهائي هو الجمع بين النطاقين، لذا النطاق النهائي هو: 1x3-1 \leq x \leq 3

باختصار، نحن نستخدم القوانين المعروفة للجذور والدوال الموجبة لتحديد النطاق المسموح به للدالة. وبعد التحليل والتأكد من صحة الشروط، نستنتج أن النطاق المسموح للدالة هو: 1x3-1 \leq x \leq 3