المسألة الرياضية:
تحديد النطاق (المجال) للدالة f(x)=1−2−3−x
الحل:
لحساب النطاق (المجال) للدالة f(x)=1−2−3−x ، نحتاج إلى مراجعة قواعد الدوال الموجبة في الجذور.
أولاً، نبدأ باستخدام الجذر الخارجي، الذي يتطلب أن يكون محتوى الجذر (المتبقي) داخل الجذر أكبر من أو يساوي الصفر:
2−3−x≥0
هذا يعني أن 3−x≤2
نربع الطرفين للحصول على:
3−x≤4
−x≤1
x≥−1
لكن نحتاج أيضًا للنظر إلى الدوال الموجبة داخل الجذر. يجب أن يكون محتوى الجذر داخل الجذر الثاني أكبر من أو يساوي الصفر:
3−x≥0
هذا يعني أن 3−x≥0
3−x≥0
−x≥−3
x≤3
وأخيراً، نحن بحاجة إلى التحقق من أن المحتوى داخل الجذر الأخير أكبر من أو يساوي الصفر:
3−x≥0
x≤3
بالمقارنة بين جميع الشروط، نجد أن تلك الشروط تتطابق، فالنطاق المسموح للدالة f(x) هو:
−1≤x≤3
وبالتالي، النطاق (المجال) للدالة f(x) هو جميع الأعداد الحقيقية بين -1 و 3، مع الاحتفاظ بالتشكيل المتمثل في قواعد الدوال الجذرية الموجبة.
المزيد من المعلومات
لحساب نطاق الدالة f(x)=1−2−3−x، نحتاج إلى مراجعة قوانين الدوال الموجبة وتطبيقها على كل جزء من الدالة.
لنبدأ بتفصيل الحل والقوانين المستخدمة:
-
القوانين المستخدمة:
- قانون إشارة الجذور: يتطلب أن يكون محتوى الجذور الحقيقية داخل الجذور موجباً.
- قوانين الجذور: تحديد نطاق القيم التي تجعل الجذور حقيقية.
-
تحليل الدالة:
نبدأ باستخدام الجذر الخارجي، ونحن بحاجة إلى التأكد من أن المحتوى داخل الجذر (المتبقي) يكون موجباً:
2−3−x≥0
حيث أن 2−3−x يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفر.- نقوم بحساب النطاق للجذر الداخلي:
3−x≥0
من هنا نحصل على x≤3.
- نقوم بحساب النطاق للجذر الداخلي:
-
تحليل الجذر الداخلي:
الآن، نحتاج إلى التأكد من أن المحتوى داخل الجذر الثاني موجب:
3−x≥0
الذي يعطينا نطاقًا إضافيًا x≤3. -
التحقق النهائي:
- نربع النطاقات للتحقق من صحتها.
- النطاق الخارجي: x≤3
- النطاق الداخلي: x≥−1
- نجد أن النطاق النهائي هو الجمع بين النطاقين، لذا النطاق النهائي هو: −1≤x≤3
- نربع النطاقات للتحقق من صحتها.
باختصار، نحن نستخدم القوانين المعروفة للجذور والدوال الموجبة لتحديد النطاق المسموح به للدالة. وبعد التحليل والتأكد من صحة الشروط، نستنتج أن النطاق المسموح للدالة هو: −1≤x≤3