نطاق دالة الأسية: تأثير القوة السالبة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = x^k$ و $k < 0$، فما هو نطاق $f(x)$ عندما تكون قيم $x$ في الفترة $[1، \infty)$؟

حينما نقول إن $k < 0$، فنعني أن القوة $k$ هي عدد سالب. في هذه الحالة، الدالة $f(x) = x^k$ تتصاعد بشكل متناقص عندما يزداد $x$، وتنحدر نحو الصفر.

عندما نأخذ $x = 1$، نحصل على $f(1) = 1^k = 1$ لأن أي قيمة للأس التي تكون مرفوعة للقوة 0 تساوي 1.

بما أن $k < 0$، فإن $x$ تزداد و $f(x)$ تنحدر نحو الصفر. وبما أننا نفترض أن $x$ تنمو بلا حدود (من 1 إلى ما لا نهاية)، فإن $f(x)$ تقترب من الصفر، ولكنها لن تصل إليه في هذا النطاق.

بما أن $k$ سالب و $x$ تزداد، فإن $f(x)$ تقترب من الصفر لكنها لن تصل إليه. لذا، نطاق $f(x)$ عندما $x$ في الفترة $[1، \infty)$ هو $(0، 1]$، أي أن قيم $f(x)$ تقع في الفترة من الصفر (غير شامل) إلى 1 (شامل).

في حل هذه المسألة، نستخدم الخواص الأساسية للدوال الأسية والمعرفة العامة حول تأثير قيم الأس على سلوك الدالة. إليك التفاصيل والقوانين المستخدمة في الحل:

1. الدالة الأسية $f(x) = x^k$: هنا، ندرس دالة الأس $f(x)$ التي تأخذ شكل $x$ مرفوعة للقوة $k$. يمكننا استخدام خواص هذه الدالة لفهم سلوكها ونطاقات قيمها.

2. القوة $k < 0$: هذا يعني أن القوة $k$ هي عدد سالب. عندما تكون القوة سالبة، فإن الدالة تكون عكسية، حيث تنحدر باتجاه الصفر عندما يتزايد $x$.

3. الفترة $[1، \infty)$: هذه الفترة تمثل قيم $x$ التي تبدأ من 1 وتمتد إلى ما لا نهاية. نحن مهتمون بفهم سلوك الدالة $f(x)$ في هذه الفترة.

الآن، نحل المسألة:
عندما نأخذ $x = 1$، نحصل على $f(1) = 1^k = 1$ لأن أي قيمة للأس التي تكون مرفوعة للقوة 0 تساوي 1.

ومن الخواص الأساسية للدوال الأسية، عندما تكون القوة $k$ سالبة، فإن قيم $f(x)$ تتقلص تدريجياً نحو الصفر كلما زادت قيم $x$. لكنها لن تصل إلى الصفر في هذا النطاق.

لذا، نطاق $f(x)$ عندما $x$ في الفترة $[1، \infty)$ هو $(0، 1]$، أي أن قيم $f(x)$ تقع في الفترة من الصفر (غير شامل) إلى 1 (شامل).

باختصار، استخدمنا الخواص الأساسية للدوال الأسية وفهمنا تأثير القوة $k$ ونطاقات القيم $x$ لحل هذه المسألة الرياضية.