نطاق دالة الأرضية: تحليل وحسابات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد نطاق الدالة $f(x) = \lfloor x \rfloor – x$ والتعبير عن الإجابة باستخدام الدالة النطاقية.

الحل:
الدالة $\lfloor x \rfloor$ تمثل أكبر عدد صحيح لا يتجاوز $x$. على سبيل المثال، $\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ و $\lfloor -2.4 \rfloor = -3$.

بالنظر إلى الدالة $f(x) = \lfloor x \rfloor – x$، نرى أنها تختلف بين القيم الصحيحة لـ $x$، مما يعني أن الفروق بين القيمة الصحيحة الأكبر و $x$ هو الجزء العشري السالب.

لنبدأ بتحليل الدالة:

• عندما $x$ عدد صحيح، فإن $\lfloor x \rfloor = x$، وبالتالي $f(x) = 0$.
• عندما $x$ عدد عشري موجب، يكون $\lfloor x \rfloor$ هو أكبر عدد صحيح قبله، لذا $\lfloor x \rfloor – x$ يكون سالبًا، بما أن $x$ أصغر من القيمة الصحيحة السابقة له.
• عندما $x$ عدد عشري سالب، يكون $\lfloor x \rfloor$ هو أكبر عدد صحيح بعد $x$، لذا $\lfloor x \rfloor – x$ يكون موجبًا، بما أن $x$ أصغر من القيمة الصحيحة التالية له.

بناءً على التحليل أعلاه، يكون نطاق الدالة $f(x)$ هو جميع الأعداد الحقيقية من $-1$ إلى $0$ بما في ذلك الحدود، أي
$f(x) \in [-1, 0]$

لحل مسألة تحديد نطاق الدالة $f(x) = \lfloor x \rfloor – x$، يمكننا الاعتماد على عدة قوانين وملاحظات رياضية:

1. قانون الدالة الأرضية (Floor Function):
   الدالة الأرضية $\lfloor x \rfloor$ تقوم بتقريب $x$ لأقرب عدد صحيح لا يتجاوز $x$. فمثلاً، $\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ و $\lfloor -2.4 \rfloor = -3$.

2. فروق الأعداد:
   عندما يكون $x$ عددًا صحيحًا، فإن $\lfloor x \rfloor = x$، لذا فإن $f(x) = 0$ لأن $x – x = 0$.

3. التأثير عند الأعداد العشرية:
   عندما يكون $x$ عددًا عشريًا، يمثل $\lfloor x \rfloor$ أكبر عدد صحيح لا يتجاوز $x$. إذاً، $\lfloor x \rfloor – x$ يكون سالبًا، لأن $x$ أقل من القيمة الصحيحة السابقة له.

4. تأثير الأعداد السالبة:
   عندما يكون $x$ عددًا سالبًا، فإن $\lfloor x \rfloor$ تمثل أكبر عدد صحيح بعد $x$، لذا $\lfloor x \rfloor – x$ يكون موجبًا، لأن $x$ أقل من القيمة الصحيحة التالية له.

5. البحث عن نطاق الدالة:
   نحن بحاجة إلى معرفة القيم التي يمكن أن تأخذها $f(x)$، وبالتالي نحدد النطاق على أساس ذلك.

بناءً على النقاط أعلاه، نستنتج أن نطاق الدالة $f(x)$ هو جميع الأعداد الحقيقية من $-1$ إلى $0$ بما في ذلك الحدود، أي
$f(x) \in [-1, 0]$