نطاق الدالة الكسرية: تحليل وحساب. (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $r(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$، ونحتاج إلى تحديد نطاق الدالة. للقيام بذلك، يجب علينا التفكير في القيم الممكنة للدالة في المتغير $x$.

نبدأ بملاحظة أن المقام في الدالة هو $(1-x)^2$، وهو يتطلب أن يكون مختلفًا عن الصفر لكي تكون الدالة معرفة. ولذا، نرى أن $1-x \neq 0$، مما يعني $x \neq 1$.

الآن نحتاج إلى التفكير في كيفية تصرف الدالة عندما $x$ يتجه نحو 1 من اليمين أو اليسار.

1. عندما $x$ يتجه نحو 1 من اليمين ($x \to 1^+$)، فإن $1-x$ سيتجه نحو 0 من اليمين، مما يجعل القيمة تتجه نحو اللانهائية موجبة.
2. عندما $x$ يتجه نحو 1 من اليسار ($x \to 1^-$)، فإن $1-x$ سيتجه نحو 0 من اليسار، مما يجعل القيمة تتجه أيضًا نحو اللانهائية موجبة.

بالتالي، نستنتج أن نطاق الدالة هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر، ويمكن تمثيله بالصيغة التالية:

$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

لحل مسألة تحديد نطاق الدالة $r(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والتحليلية. هذه القوانين تتضمن الحساب الجبري والتفكير في تصرف الدوال.

1. فحص نطاق الدالة:
   في البداية، نقوم بفحص الدالة لفهم سلوكها وتصرفها عندما يتغير المتغير $x$. في هذه الحالة، الدالة $r(x)$ تحتوي على متغير في المقام ($(1-x)^2$)، ونحتاج إلى التأكد من أن هذا المتغير لن يؤدي إلى قيم غير مسموح بها في النطاق.

2. حساب الحدود:
   نستخدم الحساب الحدودي لفهم تصرف الدالة عندما يقترب المتغير $x$ من قيمة معينة. في هذه المسألة، عندما يتجه $x$ نحو 1 من اليمين أو اليسار، نقوم بحساب الحدود لفهم كيفية اتجاه الدالة.

3. استخدام القوانين الجبرية:
   نستخدم قوانين الجبر والتحليل لتبسيط العبارات وتفسير النتائج بشكل دقيق. في هذه الحالة، نستخدم خاصية التبسيط لفهم تصرف الدالة عندما يكون $1-x \neq 0$، وبالتالي نقوم بتحديد النطاق بناءً على هذا التفسير.

4. استخدام الرموز والعلامات الرياضية:
   نستخدم الرموز الرياضية والعلامات الخاصة بالترميز الرياضي للتعبير عن النطاق بشكل دقيق وموحد، مثل استخدام علامات الجمع والفصل بين الأقواس لتمثيل الفاصلة بين الأعداد واللانهايات.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حل المسألة بدقة وفهم تصرف الدالة في مجموعة الأعداد الحقيقية.