نطاق الدالة العكسية: تحليل وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي ما هو نطاق الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$؟

الحل:
لحساب نطاق الدالة، نحتاج إلى تحديد القيم الممكنة التي يمكن أن تأخذها الدالة. لهذه الدالة، نطاقها هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة.

تذكر أن $f(x) = \frac{1}{x^2}$ يعني أن الدالة تأخذ العدد وتقوم بعملية القسمة على تربيع هذا العدد. في هذه الحالة، العدد الذي نقوم بتربيعه هو $x$، ونقوم بقسم 1 على ناتج التربيع.

إذاً، نطلع على تأثير تربيع العدد على النطاق. عندما نربع عدداً، يصبح غير سالب إذا كان سالبًا، وهو ما يعني أنه لا يمكن أن يكون لدينا قيمة سالبة للناتج.

لذا، قيم $x^2$ ستكون إيجابية أو صفرية، مما يعني أن الناتج $\frac{1}{x^2}$ سيكون إما إيجابيًا (عندما $x \neq 0$) أو موجبًا إلى اللانهائي إذا كان $x = 0$.

بمعنى آخر، النطاق يتكون من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والصفر. ولا توجد قيم سالبة في النطاق لهذه الدالة.

لذا، النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة وصفر.

لحساب نطاق الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$، يمكننا استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. فهم الدالة: نفهم أولاً كيفية عمل الدالة وما تقوم بفعله. في هذه الحالة، الدالة $f(x)$ تأخذ عددًا $x$ وتقوم بقسم 1 على تربيع هذا العدد.

2. تأثير التربيع على القيم: عندما نقوم بتربيع عدد، فإنه يصبح موجبًا أو صفريًا. لا يمكن أن يكون سالبًا.

3. التحديد البسيط لنطاق الدالة: نقوم بتحديد القيم الممكنة للناتج $\frac{1}{x^2}$. إذا كان $x^2$ موجبًا أو صفريًا، فإن $\frac{1}{x^2}$ سيكون موجبًا أو متساويًا للصفر.

4. استبعاد القيم غير الممكنة: نستبعد القيم التي قد تجعل المقام يساوي صفر، مثل $x = 0$، لأنها تؤدي إلى قيم غير معرفة (قسمة على صفر).

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستنتج أن نطاق الدالة $f(x) = \frac{1}{x^2}$ يكون جميع الأعداد الحقيقية الموجبة وصفرًا، لأن $x^2$ سيكون موجبًا أو صفريًا، وبالتالي $\frac{1}{x^2}$ سيكون موجبًا أو متساويًا للصفر.

هذا الحل يستند إلى فهم أساسي للعلاقات الرياضية وقوانين الجبر، ولا يتطلب حسابات معقدة بل يعتمد على التفكير المنطقي والتحليل البسيط للدالة.