نصف قطر الكعكة: حساب وتحليل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي البحث عن نصف قطر الكعكة المعرضة للكسرة والتي يتم تحديدها بمعادلة $x^2+y^2 + 21 = 4x + 18 y$. لنقم بتحليل المعادلة بشكل دقيق:

$x^2 + y^2 – 4x – 18y + 21 = 0$

لاحظ أنه يمكن تجميع مربعي $x$ ومربعي $y$، وكذلك جمع معامل $x$ و $y$ في جانب واحد من المعادلة. يمكن كتابتها بشكل متكامل كالتالي:

$(x^2 – 4x) + (y^2 – 18y) + 21 = 0$

لإتمام مربعي الـ$x$ والـ$y$: نضيف ونطرح ما يلزم لإتمام المربع التالف في الجانب الأيسر:

$x^2 – 4x + 4 + y^2 – 18y + 81 + 21 = 4 + 81$

$(x – 2)^2 + (y – 9)^2 = 86$

بالمقارنة مع معادلة دائرة ذات نصف قطر $r$ ومركز $(h, k)$ التي تكتب عادة على الشكل:

$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

يمكننا استنتاج أن مركز الدائرة هو $(2, 9)$ ونصف قطرها هو $\sqrt{86}$. لذا، نصف قطر الكعكة هو $\sqrt{86}$.

لحل مسألة العثور على نصف قطر الكعكة المعطاة، يتعين علينا التركيز على تحليل المعادلة المعطاة وتطبيق القوانين الرياضية المناسبة. هنا هي الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. تحليل المعادلة:
   المعادلة المعطاة هي:
   $x^2 + y^2 – 4x – 18y + 21 = 0$
   نقوم بتجميع مصطلحي $x$ ومصطلحي $y$ في الجانب الأيسر من المعادلة.

2. إكمال المربعات:
   نحتاج إلى إكمال المربعات لجعل الجزء الأول (المتعلق بـ$x$) والجزء الثاني (المتعلق بـ$y$) في المعادلة عبارة عن مربعات مثل:
   $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

3. حساب المركز ونصف القطر:
   بعد إكمال المربعات، نقوم بتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها من المعادلة.

4. تطبيق القوانين الرياضية:
   في هذه المسألة، نستخدم القوانين الرياضية للمربعات الكاملة ومعادلات الدوائر.

5. الحسابات النهائية:
   نقوم بحساب قيم نصف القطر وتقديم الإجابة بشكل صحيح.

بالتالي، باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المناسبة، نصل إلى الإجابة النهائية التي تشير إلى أن نصف قطر الكعكة هو $\sqrt{86}$.