نسب نصف القطر ومساحة الدوائر (مسألة رياضيات)

نسبة نصف قطرين لدائرتين هي 1:3. ما هي نسبة مساحتيهما؟

لنمثل نصف قطر الدائرة الأولى بـ “r1” ونصف قطر الدائرة الثانية بـ “r2”. النسبة بينهما تكون كالتالي: r1:r2 = 1:3.

لحساب المساحة، نستخدم العلاقة بين نصف القطر والمساحة والتي تكون كالتالي: مساحة الدائرة = π * (نصف القطر)².

بما أننا نعلم أن نسبة نصفي القطرين هي 1:3، يمكننا تعبيرها بالتالي: r1 = x و r2 = 3x (حيث x هو القيمة المشتركة).

الآن نحسب المساحة لكل دائرة:
مساحة الدائرة الأولى = π * (نصف القطر)² = π * x²
مساحة الدائرة الثانية = π * (نصف القطر)² = π * (3x)² = π * 9x²

الآن نقارن نسب المساحتين:
نسبة المساحة = (مساحة الدائرة الأولى) / (مساحة الدائرة الثانية) = (π * x²) / (π * 9x²) = x² / 9x²

نقلل الكسر:
نسبة المساحة = 1 / 9

إذاً، نسبة مساحة الدائرة الأولى إلى الدائرة الثانية هي 1:9.

بالتأكيد، دعنا نستعرض المسألة ونقدم حلاً مفصلًا باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بمساحة الدوائر والنسب.

المسألة:
نسبة نصف قطرين لدائرتين هي 1:3. ما هي نسبة مساحتيهما؟

الحل:
لنقم بتعريف الرموز:

• نصف قطر الدائرة الأولى: $r_1$
• نصف قطر الدائرة الثانية: $r_2$

وفقًا للمعطيات، النسبة بين $r_1$ و $r_2$ هي 1:3.

يمكننا كتابة هذه النسبة على النحو التالي:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$

من هذه النسبة، يمكننا إيجاد قيمة $r_1$ بالتلاعب بالمعادلة:
$r_1 = \frac{1}{3} \times r_2$

الآن، لحساب المساحة، نحتاج إلى استخدام قانون مساحة الدائرة:
$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times (نصف القطر)^2$

نستخدم هذا القانون لحساب مساحة الدائرة الأولى والثانية. للدائرة الأولى:
$\text{مساحة الدائرة الأولى} = \pi \times r_1^2$

وبالتالي:
$\text{مساحة الدائرة الأولى} = \pi \times \left(\frac{1}{3} \times r_2\right)^2$

للدائرة الثانية:
$\text{مساحة الدائرة الثانية} = \pi \times r_2^2$

نقوم بحساب النسبة بين مساحتي الدائرتين:
$\text{نسبة المساحة} = \frac{\text{مساحة الدائرة الأولى}}{\text{مساحة الدائرة الثانية}}$

نستخدم القوانين المذكورة أعلاه للحصول على النسبة المطلوبة.