نسب حجم ومساحة مكعبين: حلاقة الأبعاد (مسألة رياضيات)

حجم مكعبين في نسبة 64:343. ما نسبة مساحتهما السطحية؟

لنمثل حجم المكعب الأول بـ $V_1$ وحجم المكعب الثاني بـ $V_2$. السؤال يقول إن نسبة حجميهما هي 64:343، أي:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{64}{343}$

لنقم بتمثيل حجم المكعبين بالطريقة التالية:

$V_1 = a_1^3$
$V_2 = a_2^3$

حيث $a_1$ و $a_2$ هما الأضلاع المتناظرة لكل مكعب على التوالي. الآن، نستخدم العلاقة بين حجم المكعب وطول ضلعه:

$\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{64}{343}$

نأخذ الجذر الثلاثي للطرفين للحصول على النسبة بين أضلاع المكعبين:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$

الآن، نعلم أن نسبة المساحة السطحية $S_1$ للمكعب الأول إلى المساحة السطحية $S_2$ للمكعب الثاني هي نفس نسبة حجمهما:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$

نعوض قيمة $\frac{a_1}{a_2}$ بالنسبة التي حسبناها:

$\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \left( \frac{4}{7} \right)^2 = \frac{16}{49}$

إذًا، نسبة المساحة السطحية بين المكعبين هي 16:49.

في حل هذه المسألة، قمنا باستخدام مفهوم حجم المكعب وعلاقته بطول أضلاعه. نستخدم القوانين التالية:

1. حجم المكعب:
   حجم المكعب يعبر عن مكعب بطول ضلعه $a$ بالعلاقة:
   $V = a^3$

2. نسبة الحجوم:
   إذا كان لدينا مكعبين بأحجام $V_1$ و $V_2$، فإن نسبة حجومهما تكون:
   $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$

3. علاقة أضلاع المكعبين:
   إذا كنا نعلم نسبة حجوم المكعبين، فيمكننا الحصول على نسبة أضلاعهما باستخدام الجذر الثلاثي:
   $\frac{a_1}{a_2} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\frac{1}{3}}$

4. مساحة السطح للمكعب:
   مساحة السطح للمكعب بطول ضلعه $a$ تعبر عنها العلاقة:
   $S = 6a^2$

5. نسبة مساحة السطح:
   إذا كان لدينا مكعبين بمساحات سطحية $S_1$ و $S_2$ ونعلم أن نسبة حجومهما هي نفس نسبة أضلاعهما، فإن نسبة مساحات السطح تكون:
   $\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$

باستخدام هذه القوانين، قمنا بتحديد النسبة بين أضلاع المكعبين ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7}$)، ثم استخدمنا هذه النسبة لحساب نسبة مساحات السطح بين المكعبين ($\frac{S_1}{S_2} = \frac{16}{49}$).