نسب الأبعاد ومساحات الأشكال الهندسية

نسبة نصف قطر دائرة إلى طول ضلع مربع هي 2:5، نجد نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع.

للقيام بذلك، يكون علينا أولاً حساب نسبة طول القوس المقابل لكل جزء من الدائرة إلى الطول الكلي للدائرة. يتم ذلك عن طريق استخدام النسبة بين نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع.

لنفترض أن نصف قطر الدائرة هو 2x وطول ضلع المربع هو 5x. بالتالي، القوس المقابل للجزء الذي يمثل نصف قطر الدائرة هو (2x)، والقوس المقابل للجزء الذي يمثل طول ضلع المربع هو (5x).

إذاً، نسبة الطول القوسين هي (2x)/(2x + 5x)، وهي تمثل النسبة بين القوس المقابل لنصف قطر الدائرة والقوس المقابل لطول ضلع المربع.

الآن، يمكننا استخدام هذه النسبة لحساب نسبة المساحة بين الدائرة والمربع. المساحة الكلية للدائرة تُعبَّر عنها بالصيغة (π * r^2)، حيث r هو نصف قطر الدائرة، والمساحة الكلية للمربع تُعبَّر عنها بالصيغة (s^2)، حيث s هو طول ضلع المربع.

نسبة المساحة = (مساحة الدائرة) / (مساحة المربع) = [(π * r^2) / (s^2)] = [π * (2x)^2 / (5x)^2]

الآن، يمكن تبسيط هذه النسبة عن طريق إلغاء العوامل المشتركة:

نسبة المساحة = [π * (4x^2) / (25x^2)] = (4π/25)

لذا، نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع هي 4π:25.

لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية باستخدام بعض القوانين الهندسية والرياضية:

1. تعريف المتغيرات:
   فلنفترض أن نصف قطر الدائرة يعبر عنه بـ $r$، وطول ضلع المربع يعبر عنه بـ $s$، حيث تكون نسبة بين $r$ و $s$ هي 2:5.

   إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   $\frac{r}{s} = \frac{2}{5}$

2. حساب النسبة بين الأطوال:
   نستخدم المعادلة لحساب القيمة النسبية للطولين:
   $\frac{r}{s} = \frac{2}{5}$
   يمكننا حساب قيمة $r$ بالتلاعب في المعادلة.

3. تحديد الأبعاد:
   نعرف أن نصف قطر الدائرة يعبر عن $r$، لذا نصف قطر الدائرة يكون $2r$. وبالتالي، يكون طول ضلع المربع هو $5r$.

4. حساب المساحة:
   المساحة الكلية للدائرة تُحسب بالصيغة $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$، والمساحة الكلية للمربع تُحسب بالصيغة $A_{\text{مربع}} = s^2$.

5. حساب النسبة بين المساحات:
   نحسب نسبة المساحة بين الدائرة والمربع باستخدام النسبة بين المساحتين:
   $\text{نسبة المساحة} = \frac{A_{\text{دائرة}}}{A_{\text{مربع}}} = \frac{\pi r^2}{s^2}$

6. تبسيط النسبة:
   نستخدم القيم المعرفة لـ $r$ و $s$ لتبسيط النسبة.

القوانين المستخدمة:

• نسبة الأبعاد:
  $\frac{r}{s} = \frac{2}{5}$

• مساحة الدائرة:
  $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$

• مساحة المربع:
  $A_{\text{مربع}} = s^2$

• نسبة المساحة:
  $\text{نسبة المساحة} = \frac{A_{\text{دائرة}}}{A_{\text{مربع}}} = \frac{\pi r^2}{s^2}$

حل المسألة:
نقوم بحساب قيمة $r$ باستخدام نسبة الأبعاد. ثم نحسب المساحة الكلية لكل من الدائرة والمربع باستخدام الصيغ المعتمدة. وأخيرًا، نقوم بحساب نسبة المساحة بين الدائرة والمربع وتبسيط الناتج.