نسبة مساحة دائرة r إلى دائرة s

إذا كان قطر الدائرة ر يشكل 40٪ من قطر الدائرة س، فما هي نسبة مساحة الدائرة ر إلى مساحة الدائرة س؟

لنعتبر أن قطر الدائرة ر يكون 40٪ من قطر الدائرة س. إذاً، يمكننا التعبير عن النسبة بالعلاقة التالية:

قطر ر = 0.4 × قطر س

لحساب مساحة الدائرة، نستخدم العلاقة التالية:

مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)²

بما أننا يمكننا أن نفترض أن قطر الدائرة ر هو 0.4d (حيث d هو قطر الدائرة س)، نحسب نصف قطر الدائرة ر على النحو التالي:

نصف القطر ر = 0.2d

ونصف قطر الدائرة س هو d/2.

الآن، نستخدم هذه القيم في معادلة مساحة الدائرة لحساب مساحة الدائرة ر والدائرة س:

مساحة الدائرة ر = π × (0.2d)² = 0.04πd²

مساحة الدائرة س = π × (d/2)² = 0.25πd²

لحساب النسبة، نقوم بقسم مساحة الدائرة ر على مساحة الدائرة س وضرب الناتج في 100 للحصول على النسبة كنسبة مئوية:

نسبة المساحة = (مساحة الدائرة ر / مساحة الدائرة س) × 100

= (0.04πd² / 0.25πd²) × 100

= (0.04/0.25) × 100

= 16٪

إذاً، مساحة الدائرة ر تشكل 16٪ من مساحة الدائرة س.

لحل هذه المسألة، سنستخدم بعض القوانين الهندسية المتعلقة بالدوائر والنسب الهندسية. القوانين المستخدمة هي:

1. علاقة بين قطر الدائرة ونصف قطرها:
   إذا كان d هو قطر الدائرة، فإن نصف قطرها (r) يكون نصف قيمة القطر.

   $r = \frac{d}{2}$

2. علاقة بين مساحة الدائرة ونصف قطرها:
   مساحة الدائرة (A) تعتمد على نصف قطرها، ويتم حسابها باستخدام العلاقة:

   $A = \pi \times r^2$

3. العلاقة بين قطرين لدائرتين ذات نسبة مئوية:
   إذا كان قطر الدائرة $r$ يمثل نسبة مئوية $p$ من قطر الدائرة $s$، يمكن التعبير عن هذه العلاقة كالتالي:

   $r = p \times s$

الآن، لنقم بحل المسألة:

إذا كان قطر الدائرة $r$ يشكل 40٪ من قطر الدائرة $s$، يمكننا استخدام العلاقة الثالثة المذكورة أعلاه:

$r = 0.4 \times s$

لكننا أيضًا نعلم أن نصف قطر الدائرة $r$ يكون $0.2 \times s$ (من القانون الأول). الآن، يمكننا حساب مساحة الدائرتين باستخدام القانون الثاني المذكور:

$A_r = \pi \times (0.2s)^2$
$A_s = \pi \times (\frac{s}{2})^2$

ثم نقوم بحساب النسبة بين مساحة الدائرة $r$ ومساحة الدائرة $s$ كنسبة مئوية:

$\text{نسبة المساحة} = \frac{A_r}{A_s} \times 100$

وباستخدام القيم الرقمية للمساحة، نحسب هذه النسبة ونجد أن مساحة الدائرة $r$ تشكل 16٪ من مساحة الدائرة $s$.