نسبة مساحة المثلث للمتوازي (مسألة رياضيات)

يتم قطع مثلث متساوي الأضلاع بطول جوانب 8 وحدات بشكل يترك مُنتصفاً للقمة، مما يترك مُتوازي الأضلاع. يُطلق على هذا الشكل هندسي “مُتوازي الأضلاع”. الهدف هو حساب نسبة مساحة المثلث الصغير إلى مساحة المُتوازي الأضلاع.

لنبدأ بحساب مساحة المثلث الصغير. المثلث متساوي الأضلاع، لذا نستخدم الصيغة الخاصة بمساحة مثلث متساوي الأضلاع:

مساحة المثلث = (جذر 3 / 4) × طول الضلع^2

لذا مساحة المثلث الصغير = (جذر 3 / 4) × 4^2 = (جذر 3 / 4) × 16 = 4جذر 3 وحدة مربعة.

الآن، لنحسب مساحة المُتوازي الأضلاع. يمكننا ملاحظة أن قاعدتاه هما الضلعان الأساسيان للمثلث الكبير، بينما الضلعان الآخران هما ضلعا المثلث الصغير.

لحساب مساحة المُتوازي الأضلاع، نستخدم الصيغة:

مساحة المُتوازي الأضلاع = (نصف مجموع القواعد) × الارتفاع

نعرف أن قاعدة المُتوازي الأضلاع الكبيرة هي 8 وحدات، وقاعدة المُتوازي الأضلاع الصغيرة هي 4 وحدات، والارتفاع يمكن أن نحسبه بواسطة مساحة المثلث الصغير.

الارتفاع = جذر (الضلع المتوسط للمثلث الصغير)^2 – (نصف القاعدة)^2

= جذر (4^2 – 2^2)

= جذر (16 – 4)

= جذر 12 وحدة.

الآن، نقوم بحساب مساحة المُتوازي الأضلاع:

مساحة المُتوازي الأضلاع = (8 + 4) / 2 × جذر 12

= 6 × جذر 12

= 6جذر 12 وحدة مربعة.

الآن، لحساب النسبة بين مساحة المثلث الصغير ومساحة المُتوازي الأضلاع:

النسبة = (مساحة المثلث الصغير) / (مساحة المُتوازي الأضلاع)

= (4جذر 3) / (6جذر 12)

= (4 / 6) × (جذر 3 / جذر 12)

= (2 / 3) × (جذر 3 / 2جذر 3)

= 1 / 3.

إذاً، النسبة بين مساحة المثلث الصغير ومساحة المُتوازي الأضلاع هي 1/3.

في هذه المسألة، نستخدم عدة مفاهيم هندسية وقوانين لحساب مساحة المثلث والمُتوازي الأضلاع. الأدوات التي نحتاجها لحل المسألة تتضمن:

1. قانون مساحة المثلث:

   • يستخدم لحساب مساحة المثلث، ويعتمد على قوانين الهندسة الأساسية للمثلثات المختلفة.
   • لمثلث متساوي الأضلاع، يمكننا استخدام الصيغة: مساحة المثلث = (جذر 3 / 4) × طول الضلع^2.

2. قانون مساحة المتوازي الأضلاع:

   • يُستخدم لحساب مساحة المتوازي الأضلاع، ويعتمد على طول القواعد والارتفاع.
   • الصيغة: مساحة المتوازي الأضلاع = (نصف مجموع القواعد) × الارتفاع.

في هذه المسألة، نحتاج أيضًا إلى استخدام مفهوم الارتفاع في المتوازي الأضلاع. يتم حساب الارتفاع باستخدام القاعدة والضلع المتوسط للمثلث الصغير.

تمثلت الخطوات في حل المسألة في حساب مساحة المثلث الصغير ومساحة المتوازي الأضلاع ومن ثم حساب النسبة بينهما.

بهذه الطريقة، يمكن للمتعلم أن يفهم العلاقة بين مساحتي الشكلين المختلفين ويستنتج النسبة بينهما باستخدام القوانين الهندسية المناسبة.