نسبة حجوم المكعبات ومساحاتها (مسألة رياضيات)

نسبة حجوم مكعبين هي 729:125، فما هي نسبة مساحتيهما الإجمالية؟

لنقم بتعريف مساحة المكعب بواسطة طول حافة واحدة. إذا كان حجم المكعب الأول هو V1 وحجم المكعب الثاني هو V2، فإننا نستخدم العلاقة التالية:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$

حيث $a_1$ و $a_2$ هما طول حواف المكعبين. في هذه الحالة، نعلم أن:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{729}{125}$

لكننا أيضًا نعلم أن:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$

إذاً:

$\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \frac{729}{125}$

نلاحظ أن 729 هي 9 مرفوعة للقوة 3 ( $9^3$ ) وأن 125 هي 5 مرفوعة للقوة 3 ( $5^3$ ). لذا، يمكننا كتابة العلاقة كما يلي:

$\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \left(\frac{9}{5}\right)^3$

من هنا، نستنتج أن:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{5}$

الآن، نعلم أن مساحة السطح للمكعب تتناسب مع مربع حافة المكعب. لذا، نستخدم النسبة التي حسبناها لطول الحافة لحساب نسبة المساحة الإجمالية للسطح:

$\frac{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_1}{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

ونعوض بالقيم التي حسبناها:

$\frac{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_1}{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_2} = \left(\frac{9}{5}\right)^2$

الآن يمكن حساب هذه القيمة:

$\frac{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_1}{\text{المساحة الإجمالية للسطح}_2} = \frac{81}{25}$

لذا، نسبة المساحة الإجمالية للسطح بين المكعبين هي 81:25.

بالطبع، دعونا نقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام بعض القوانين الهندسية. لنبدأ بتعريف القوانين المستخدمة:

1. حجم المكعب:
   حجم المكعب يتناسب مع مكعب الحافة، وهذا يعني أن حجم المكعب يتناسب مع الطول التكعيب للحافة مرفوعة للقوة الثالثة. رمزياً: $V = a^3$.

2. نسبة الحجوم:
   إذا كانت نسبة حجم مكعبين هي $a:b$، فإن نسبة أضلاعهما هي $a^{1/3} : b^{1/3}$، لأننا نأخذ الجذر التكعيبي لكل قيمة.

3. نسبة المساحة الإجمالية للسطح:
   مساحة سطح المكعب تتناسب مع مربع حافته. رمزياً: $S = 6a^2$.

الآن، لنحسب النسبة بين المساحتين الإجماليتين للسطح للمكعبين.

نعلم أن نسبة حجوم المكعبين هي 729:125، إذاً:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{729}{125}$

نستخدم الجذر التكعيبي للقيم:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{9}{5}$

الآن، نستخدم هذه النسبة لحساب نسبة المساحة الإجمالية للسطح:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{9}{5}\right)^2 = \frac{81}{25}$

لذا، النسبة بين المساحتين الإجماليتين للسطح للمكعبين هي 81:25. في هذا الحل، استخدمنا قوانين الهندسة الأساسية للمكعب والنسب للحل.