نسبة حجم الكرة إلى المكعب (مسألة رياضيات)

نعلم أنه تم تضمين كرة داخل مكعب. لحساب نسبة حجم الكرة المضمنة إلى حجم المكعب، نحتاج إلى معرفة الصيغ المناسبة لحجم الكرة والمكعب.

لنبدأ بحساب حجم الكرة:
الحجم الكلي للكرة يتمثل في الصيغة: $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3}\pi r^3$
حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

ثم نحتاج إلى حساب حجم المكعب:
الحجم الكلي للمكعب هو: $V_{\text{مكعب}} = a^3$
حيث $a$ هو طول ضلع المكعب.

لكن بما أن الكرة متضمنة بالكامل داخل المكعب، فإن قطر الكرة يكون مساويًا لطول ضلع المكعب، أي $d = a$، وبالتالي $r = \frac{a}{2}$.

الآن، يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب النسبة بين حجم الكرة وحجم المكعب:

$\text{النسبة} = \frac{V_{\text{كرة}}}{V_{\text{مكعب}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (\frac{a}{2})^3}{a^3}$

نبسط الآن الصيغة:

$= \frac{\frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8}}{a^3} = \frac{\frac{\pi}{6} a^3}{a^3} = \frac{\pi}{6}$

لذا، النسبة بين حجم الكرة المتضمنة وحجم المكعب هي $\frac{\pi}{6}$.

لحل مسألة تضمين الكرة داخل المكعب وحساب نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب، يمكننا الاعتماد على المفاهيم الهندسية الأساسية للكرة والمكعب، والتي تشمل:

1. حجم الكرة:
   يتمثل حجم الكرة في الصيغة:
   $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3}\pi r^3$
   حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

2. حجم المكعب:
   حجم المكعب يحسب ببساطة كمبينة طول ضلعه في صيغة الحجم:
   $V_{\text{مكعب}} = a^3$
   حيث $a$ هو طول ضلع المكعب.

3. العلاقة بين نصف قطر الكرة وضلع المكعب:
   نظرًا لأن الكرة متضمنة بالكامل داخل المكعب، فإن القطر يكون مساويًا لطول ضلع المكعب، أي $d = a$. وبالتالي، يمكننا أيضًا أن نكتب $r = \frac{a}{2}$.

4. النسبة بين حجم الكرة وحجم المكعب:
   بما أننا نريد حساب النسبة بين حجم الكرة المتضمنة وحجم المكعب، فإنه يتم ذلك عن طريق قسمة حجم الكرة على حجم المكعب.

الآن، بعد إدراك هذه المفاهيم، يمكننا استخدامها لحل المسألة بدقة، والتي تؤدي في النهاية إلى النتيجة $\frac{\pi}{6}$ كنسبة بين حجم الكرة وحجم المكعب.