نسبة حجم الأوكتاهيدر إلى المكعب. (مسألة رياضيات)

نسبة حجم المنشور المنتظم، الذي يتكون من توصيل مراكز الوجوه المتجاورة لمكعب، إلى حجم المكعب.

الحل:
لحساب حجم المكعب، نحسب حجم أحد أضلاع المكعب ثم نرفعه للقوة الثالثة، لأن جميع أضلاع المكعب متساوية.
لحساب حجم المنشور المنتظم (الأوكتاهيدر)، نستخدم العلاقة التالية:
$V_{\text{oct}} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times a^3$
حيث $a$ هو طول الضلع للمكعب.

الآن، نحسب النسبة بين حجم المنشور وحجم المكعب:
$\text{النسبة} = \frac{V_{\text{oct}}}{V_{\text{cube}}}$

بدايةً، نحتاج إلى حساب حجم المكعب. إذا كان لدينا طول الضلع $a$ للمكعب، فإن حجمه يكون $V_{\text{cube}} = a^3$.

ثم، نستخدم العلاقة لحساب حجم المنشور المنتظم، حيث $a$ هو طول الضلع للمكعب:
$V_{\text{oct}} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times a^3$

الآن، نقوم بوضع القيم في النسبة:
$\text{النسبة} = \frac{\frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times a^3}{a^3}$

نقوم بإلغاء $a^3$ من البسط والمقام:
$\text{النسبة} = \frac{\frac{1}{3} \times \sqrt{2}}{1}$

بما أن الجذر التربيعي من 2 هو قيمة ثابتة، نستخرج قيمتها ونبسط الكسر:
$\text{النسبة} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

إذاً، النسبة بين حجم المنشور المنتظم وحجم المكعب هي $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

لحل مسألة النسبة بين حجم المنشور المنتظم (الأوكتاهيدر) وحجم المكعب، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الهندسية والرياضية الأساسية.

1. حجم المكعب: حجم المكعب يُحسب بتربيع طول أحد أضلاعه. إذا كان طول الضلع $a$، فإن حجم المكعب يكون $V_{\text{cube}} = a^3$.

2. حجم المنشور المنتظم (الأوكتاهيدر): الأوكتاهيدر هو منشور مكون من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع، ويُستخرج حجمه باستخدام العلاقة التالية:
   $V_{\text{oct}} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times a^3$
   حيث $a$ هو طول الضلع للمكعب.

3. النسبة بين حجم المنشور وحجم المكعب: بمجرد حساب حجم المكعب وحجم المنشور، نقوم بتقديم النسبة بينهما، حيث نقوم بقسمة حجم المنشور على حجم المكعب.

الآن، دعنا نقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل:

1. حساب حجم المكعب:
   نقوم بتربيع طول أحد أضلاع المكعب. إذا كان $a$ هو طول الضلع، فإن حجم المكعب يكون $V_{\text{cube}} = a^3$.

2. حساب حجم المنشور المنتظم (الأوكتاهيدر):
   نستخدم العلاقة التي ذكرناها سابقًا:
   $V_{\text{oct}} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times a^3$

3. حساب النسبة:
   بمجرد حساب كل من حجم المكعب وحجم المنشور، نقوم بوضعهما في النسبة:
   $\text{النسبة} = \frac{V_{\text{oct}}}{V_{\text{cube}}}$
   ونقوم بتبسيطها للحصول على النتيجة.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

• قانون حساب حجم المكعب.
• العلاقة الهندسية لحساب حجم المنشور المنتظم (الأوكتاهيدر).
• قانون حساب النسبة بين الأحجام.